Что такое уровень ферми
Перейти к содержимому

Что такое уровень ферми

  • автор:

Уровень Ферми

В физике, энергия Ферми ( EF ) системы невзаимодействующих фермионов — это увеличение энергии основного состояния системы при добавлении одной частицы. Это эквивалентно химическому потенциалу системы в ее основном состоянии при абсолютном нуле температур. Это может также интерпретироваться как максимальная энергия фермиона в основном состоянии. Энергия Ферми — одно из центральных понятий физики твёрдого тела.

Фермионы — частицы с полуцелым спином, обычно 1/2, такие как электроны — подчиняются принципу запрета Паули, согласно которому две одинаковые частицы не могут занимать одно и то же квантовое состояние. Следовательно, фермионы подчиняются статистике Ферми — Дирака. Основное состояние невзаимодействующих фермионов строится начиная с пустой системы и постепенного добавления частиц по одной, последовательно заполняя состояния в порядке возрастания энергии. Когда необходимое число частиц достигнуто, энергия Ферми равна энергии самого высокого заполненного состояния (или самого низкого незанятого состояния; различие не важно, когда система является макроскопической). Поэтому энергию Ферми называют также уровнем Ферми. Частицы с энергией равной энергии Ферми двигаются со скоростью называемой скоростью Ферми.

В свободном электронном газе (квантовомеханическая версия идеального газа фермионов) квантовые состояния могут быть помечены согласно их импульсу. Кое-что подобное можно сделать для периодических систем, типа электронов движущихся в атомной решётке металла, используя так называемый квазиимпульс (Частица в периодическом потенциале). В любом случае, состояния с энергией Ферми расположены на поверхности в пространстве импульсов, известной как поверхность Ферми. Для свободного электронного газа, поверхность Ферми — поверхность сферы; для периодических систем, она вообще имеет искаженную форму. Объем заключённый под поверхностью Ферми определяет число электронов в системе, и её топология непосредственно связана с транспортными свойствами металлов, например, электрической проводимостью. Поверхности Ферми большинства металлов хорошо изучены экспериментально и теоретически.

Уровень Ферми при положительных температурах

При положительной температуре ферми-газ не будет являться вырожденным, и населённость уровней будет плавно уменьшаться от нижних уровней к верхним. В качестве уровня Ферми можно выбрать уровень, заполненный ровно наполовину (то есть вероятность находящегося на искомом уровне состояния быть заполненным частицей должна быть равна 1/2).

Энергия Ферми свободного ферми-газа связана с химическим потенциалом уравнением

\mu = E _F \left[ 1- \frac<\pi ^2></p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2joomlaumnik -->
<script src=

\left(\frac\right) ^2 + \frac<\pi^4> \left(\frac\right)^4 + \cdots \right] » width=»» height=»» />

где EF — энергия Ферми, k — постоянная Больцмана, и T — температура. Следовательно, химический потенциал приблизительно равен энергии Ферми при температурах намного меньше характерной температуры Ферми EF / k . Характерная температура имеет порядок 10 5 K для металла, следовательно при комнатной температуре (300 K), энергия Ферми и химический потенциал фактически эквивалентны. Это существенно, потому что химический потенциал не является энергией Ферми, которая входит в распределение Ферми — Дирака.

См. также

Литература

Гусев В. Г., Гусев Ю. М. Электроника. — М.: Высшая школа, 1991. С. 53. ISBN 5-06-000681-6

Wikimedia Foundation . 2010 .

3.5. Уровень Ферми в полупроводниках

Понятия энергии Ферми и уровня Ферми были введены ранее для металлов. Поскольку в полупроводниках функция распределения электронов по состояниям имеет тот же вид, что и в металлах, то энергия Ферми в полупроводниках имеет тот же физический смысл: энергия Ферми — это максимально допустимая энергия, ниже которой при нулевой абсолютной температуре все энергетические уровни заняты [f(E)= 1], а выше которой все уровни пусты [f(E) = 0]. Для полупроводников, у которых при абсолютном нуле валентная зона полностью заполнена, а зона проводимости совершенно свободна, функция распределения имеет разрыв. Следовательно, уровень Ферми в полупроводнике должен лежать при абсолютном нуле в запрещенной зоне.

Уровень Ферми в собственном полупроводнике

Для собственного полупроводника концентрации электронов и дырок равны (), т.к. каждый электрон, покинувший валентную зону, создает одну дырку. Приравнивая равенства (17) и (19), получим

Разрешая последнее равенство относительно ЕF, получим

Если эффективные массы электронов и дырок равны [= ,то = 0] и уровень Ферми собственного полупроводника при любой температуре располагается посередине запрещенной зоны.

Температурная зависимость положения уровня Ферми в собственном полупроводнике определяется третьим слагаемым в уравнении (23). Если эффективная масса дырки в валентной зоне больше эффективной массы электрона в зоне проводимости, то уровень Ферми смещается с повышением температуры ближе к дну зоны проводимости. В противоположном случае уровень Ферми смещается к потолку валентной зоны. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике с изменением температуры схематически показано на рис. 5.

Для большинства полупроводников эффективная масса дырки не намного превышает эффективную массу электрона и смещение уровня Ферми с изменением температуры незначительно. Однако у антимонида индия (InSb) , а ширина запрещенной зоны невелика (Eg = 0,17 эВ), так что при Т > 450K уровень Ферми входит в зону проводимости. При этой температуре полупроводник переходит в вырожденное состояние.

Рис. 5. Положение уровня Ферми в собственном полупроводнике

1 — ; 2 — ; 3 — .

Уровень Ферми в примесных полупроводниках

Положение уровня Ферми в примесных полупроводниках может быть найдено из условия электронейтральности кристалла. Для донорного полупроводника это условие записывается в виде

здесь Nd— концентрация донорных уровней,nd— концентрация электронов на донорных уровнях. Концентрация электронов в зоне проводимости равна сумме концентраций дырок в валентной зоне и концентрации положительно заряженных ионов доноров (последняя, очевидно, равнаNdnd).

Концентрацию электронов на донорных уровнях можно вычислить, умножив концентрацию этих уровней Nd на функцию распределения Ферми-Дирака:

где Еd— энергия активации донорных уровней.

Подстановка в условие электронейтральности (24) концентраций электронов (17) и дырок (19), а также концентрации электронов на донорных уровнях (25) приводит к следующему уравнению относительно положения уровня Ферми ЕF :

При подстановке концентрации электронов на донорных уровнях в уравнение (24) было сделано предположение, что газ электронов примесных атомов невырожденный, что позволило пренебречь единицей в знаменателе формулы (25).

Уравнение (26) ввиду его сложности обычно в общем виде не решают, а ограничиваются рассмотрением частных случаев. Например, при низких температурах, когда электроны в зоне проводимости появляются в основном за счет переходов с примесных уровней, а концентрация дырок близка к нулю, решение уравнения (26) имеет вид

Рисунок 6 Температурные зависимости положения уровня Ферми в донорном (а) и акцепторном (б) полупроводниках.

Из уравнения (27) следует, что при абсолютном нуле температуры энергия Ферми донорного полупроводника находится строго посередине между дном зоны проводимости и донорными уровнями. Температурная зависимость положения уровня Ферми определяется третьим членом в уравнении (27), который меняет знак с изменением температуры. Поэтому уровень Ферми с повышением температуры сначала смещается к зоне проводимости, а затем — к валентной зоне (рис. 6а).

Аналогично можно получить выражение для температурной зависимости уровня Ферми в акцепторном полупроводнике. График этой зависимости схематически приведен на рис. 6б.

Энергия Ферми

Энергия Фе́рми — значение энергии, ниже которой при температуре абсолютного нуля Т=0 К, все энергетические состояния системы частиц, подчиняющихся Ферми — Дирака статистике, заняты, а выше — свободны. Уровень Ферми — некоторый условный уровень, соответствующий энергии Ферми системы фермионов; в частности электронов твердого тела, играет роль химического потенциала для незаряженных частиц. Статистический смысл уровня Ферми — при любой температуре его заселенность равна 1/2.

Положение уровня Ферми является одной из основных характеристик состояния электронов (электронного газа) в твердом теле. В квантовой теории вероятность заполнения энергетических состояний электронами, определяется функцией Ферми F(E):

F(E) =1/(e (E-E F )/kT +1), где
Е — энергия уровня, вероятность заполнения которого определяется,
EF — энергия характеристического уровня, относительно которого кривая вероятности симметрична;
Т — абсолютная температура;
При абсолютном нуле из вида функции следует, что
F(E) = 1 при Е F
F(E) = 0 при Е >EF

То есть все состояния, лежащие ниже уровня Ферми, полностью заняты электронами, а выше него свободны.

Энергия Ферми EF — максимальное значение энергии, которое может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. Энергия Ферми совпадает со значениями химического потенциала газа фермионов при Т =0 К, то есть уровень Ферми для электронов играет роль уровня химического потенциала для незаряженных частиц. Соответствующий ей потенциал jF = EF называют электрохимическим потенциалом.

Таким образом, уровнем Ферми или энергией Ферми в металлах является энергия, которую может иметь электрон при температуре абсолютного нуля. При нагревании металла происходит возбуждение некоторых электронов, находящихся вблизи уровня Ферми (за счет тепловой энергии, величина которой порядка kT). Но при любой температуре для уровня с энергией, соответствующей уровню Ферми, вероятность заполнения равна 1/2. Все уровни, расположенные ниже уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 заполнены электронами, а все уровни, лежащие выше уровня Ферми, с вероятностью больше 1/2 свободны от электронов.

Для электронного газа в металлах при Т = 0 величина энергии Ферми однозначно определяется концентрацией электронов и ее можно выразить через число n частиц электронного газа в единице объема: зависимость энергии Ферми от концентрации электронов нелинейная.

С ростом температуры (а также уменьшением концентрации электронов) уровень Ферми смещается по шкале энергий влево, но его заселенность остается равной 1/2. В реальных условиях изменение E увеличением температуры мало. Например, для Ag, имеющего при Т=0 значение EF равное 5, 5 эВ, изменение энергии Ферми при температуре плавления составляет всего около 0, 03% от исходного значения.

В полупроводниках при очень низких температурах уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и потолком валентной зоны. (Для донорных полупроводников — полупроводников n-типа проводимости — уровень Ферми лежит посередине между дном зоны проводимости и донорным уровнем). С повышением температуры вероятность заполнения донорных состояний уменьшается, и уровень Ферми перемещается вниз. При высоких температурах полупроводник по свойствам близок к собственному, и уровень Ферми устремляется к середине запрещенной зоны. Аналогичные закономерности проявляются и полупроводниках р-типа проводимости.

Существование энергии Ферми является следствием Принципа Паули. Величина энергии Ферми существенно зависит от свойств системы. Понятие об энергии Ферми используется в физике твердого тела, в ядерной физике, в астрофизике и т. д.

Уровень Ферми

Проводимость полупроводников n-типа выше, чем материалов с собственной проводимостью, так как энергия ионизации доноров меньше ширины запрещенной зоны, и при термическом возбуждении электроны легче переходят в зону проводимости. Аналогично в материалах р-типа дырки легче попадают в валентную зону.

Для наглядного объяснения этого явления введено понятие уровня Ферми (рис. 7.3). Уровень Ферми представляет собой условный уровень энергии в запрещенной зоне, с которого возбуждаются основные носители (электроны в Материалах n-типа и дырки в материалах р-типа). Вероятность возбуждения пропорциональна ехр [-eφ/(kT)], где е — заряд электрона и дырки, е = 1,6×10 -19 Кл; φ — разность потенциалов между уровнем Ферми и валентной зоной или зоной проводимости соответственно.

Уровень Ферми в полупроводниках

Рис. 7.3. Уровень Ферми в полупроводниках (показан пунктиром). Беспримесный полупроводник (а), примесь n-типа (б), примесь р-типа (в)

Следует отметить, что электроны возбуждаются «вверх» в зону проводимости, а дырки — «вниз» в валентную зону. На энергетической диаграмме потенциальная энергия возрастает вверх для электронов и вниз для дырок.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *