Что такое линейная оболочка
Перейти к содержимому

Что такое линейная оболочка

  • автор:

§ 3.5 Линейная оболочка

Определение 1. Линейной оболочкой заданной конечной совокупности элементов векторного пространства n над полем К называется множество всех линейных комбинаций этих элементов с коэффициентами из поля К. При этом сама совокупность называется порождающей системой данной линейной оболочки, а сама линейная оболочка обозначается символом .

Линейные оболочки обладают следующими свойствами:

. Линейная оболочка элементов векторного пространства n является подпространством М векторного пространства n .

Данный результат следует из определения линейной оболочки: сумма двух векторов из линейной оболочки будет принадлежать линейной оболочки (одна из линейных комбинаций), произведение вектора из линейной оболочки также будет принадлежать линейной оболочки.

. Линейная оболочка может совпадать со всем пространством R n (если образующая система является базисом в пространстве R n )

. Линейная оболочка является наименьшим подпространством, содержащим элементы . Все остальные подпространства могут только содержать вектора порождающей системы или их возможные комбинации.

. Если какой-нибудь элемент из порождающей системы элементов есть линейная комбинация остальных элементов этой системы, то его можно удалить из порождающей системы, не изменив при этом линейной оболочки.

. Если координатная матрица системы образующих имеет ранг р, где , то любая линейно независимая система , является базисом линейной оболочки , а сама линейная оболочка будет подпространством размерности р, .

  1. Если a, b, с – геометрические векторы, лежащие на одной прямой. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a).Здесь линейная оболочка является одномерным пространством, которое состоит из всех вектор, лежащих на прямой, причем вектор а –является базисом.
  2. Пусть a, b, с – геометрические векторы, причем a, b не коллинеарны, с = а + b. В этом случае линейная оболочка L(а,b,c)= L(a,b).Здесь линейная оболочка является двумерным пространством, состоящем из всех векторов, компланарных с векторами a и b. Вектора а,b составляют базис в L(a,b). Любой вектор из L представляется в виде линейной комбинации векторов а и b.

Вообще, в конечномерном пространстве R всякое подпространство L является линейной оболочкой некоторой системы векторов. Рассмотри следующую задачу. В евклидовом пространстве E n задана линейная оболочка , где k  n. Требуется: 1)Найти размерность и базис линейной оболочки ; 2)Выделить в линейной оболочке ортогональный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидовапространстваEn . Если схема решения первой задачи нам знакома, то решение второй задачи строится на следующем теоретическом результате. Теорема (Грама – Шмидта) Пусть — система линейно независимых векторов в евклидовом пространстве, где k  n, являющихся образующей системой линейной оболочки . Система векторов , описываемая формулами , , , . . . где коэффициенты , , образует ортогональный базис линейной оболочки .Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно доказать следующее утверждение: вектор ортогонален вектору . Действительно, умножая скалярно вектор на вектор , получим ==0 Следствие. Результат теоремы дает алгоритм последовательной ортогонализации системы линейно независимых элементов ( так называемый метод Грама — Шмидта).Пример

  1. В евклидовом пространстве E 4 линейная оболочка задана образующей системой векторов с координатами

. Требуется: а) найти размерность и базис линейной оболочки б) указать в линейной оболочке ортонормированный базис и достроить его до ортонормированного базиса евклидова пространства E 4 . Решение. Рассмотрим координатную матрицу . Так как , то , элементы линейно независимы в E 4 и образуют базис данной линейной оболочки, являющейся подпространством в E 4 . Для построения ортонормированного базиса в E 4 применим метод ортогонализации Грама-Шмидта. Получим , , . Записывая векторы столбцами их координат, последовательно найдем . Легко проверить, что полученные элементы попарно ортогональны. Найдем ортогональный им вектор . Пусть , то неизвестные координаты вектора Y4 найдутся из условий ,,. Так как , в последней системе неизвестные можно взять в качестве базисных неизвестных. Если для свободной (небазисной) неизвестной , то . Нормировав найденные векторы , построим ортонормированный базис в E 4 : . Задача решена. В завершении параграфа введем важное определение. Пусть — — базис в E n и векторы представлены в этом базисе своими разложениями . Тогда скалярное произведение этих векторов имеет вид или в матричной форме , где — столбцы координат векторов в базисе а симметричная матрица составлена из скалярных произведений базисных векторов: . В общем случае в качестве элементов матрицы А рассматривают скалярные произведения произвольной системы векторов а1, а2,…, аnОпределение 3. Определитель матрицы А скалярных произведений заданной системы векторов называют определителем Грама.Теорема Произвольная система векторов, заданных в ортонормированном базисе, будет линейно независимой, если ее определитель Грама отличен от нуля.

Линейная оболочка

Линейная оболочка подмножества X линейного пространства L — пересечение M всех подпространств L , содержащих X .

Линейная оболочка также называется подпространством, порожденным X . Обычно обозначается . Говорят также, что линейная оболочка натянута на множество X .

Свойства

  • Линейная оболочка L(X) состоит из всевозможных линейных комбинаций различных конечных подсистем элементов из X .
    • В частности, если X — конечное множество, то \mathcal L(X)состоит из всех линейных комбинаций системы X=\<\mathbf_1,\mathbf_2. \mathbf_k\>» width=»» height=»» />: <img decoding=

Теорема 1: Критерий подпространства. Непустое множество W ⊂ V является подпространством пространства V тогда и только тогда, когда W замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры. Иными словами, выполняются следующие два условия:

Доказательство

Если W является подпространством V, то оно само векторное пространство, поэтому и должно быть замкнуто относительно сложения векторов и умножения их на скаляры.

Обратно, пусть выполняются условия 1) и 2) критерия. По условию 2) ∀ x → ∈ W ( − 1 ) x → = − x → ∈ W >\in W\quad (-1)>=->\in W> , а значит 0 → = x → + ( − x → ) ∈ W >=>+(->)\in W> . Поскольку, к тому же, операция сложения векторов ассоциативна на W, то W— абелева группа относительно сложения векторов (выполняются аксиомы 1-5). Условие 2) также означает, что на W задана операция умножения векторов на скаляры из P. Ясно, что все остальные аксиомы векторного пространства для W выполняются, и поэтому оно является подпространством пространства V.

Замечание: Условия 1) и 2) критерия можно было заменить следующим равносильным условием: ( ∀ α , β ∈ P ) ( ∀ x → , y → ∈ W ) α x → + β y → ∈ W >,>\in W)\quad \alpha >+\beta >\in W>

Примеры подпространств:

  • Множество < 0 → >>\>> является подпространством в любом пространстве V.
  • Множество компланарных какой-нибудь плоскости α векторов- подпространство в пространстве трёхмерных векторов.
  • Докажите, применив критерий подпространства, что S = < ( a 1 , a 2 , . . . a n ) ∈ P n | ∑ k = 1 n a i = 0 >(a_,a_. a_)\in P^\sum _^a_=0>> — подпространство арифметического пространства P n .

Теорема 2: Пересечение любого семейства подпространств данного пространства V вновь является подпространством постранства V.

Доказательство

Пусть < V i >i ∈ I \>_> — произвольное семейство подпространств пространства V. Т.к. 0 → >> принадлежит любому подпространтву (см. доказательство критерия), то пересечение всех подпространств из этого семейства- не пусто (т.е. ⋂ i V i ≠ ∅ V_\neq \varnothing > ). Возьмём произвольные скаляры α и β из поля P и произвольные векторы x → >> и y → >> из ⋂ i V i V_> . Тогда, по критерию, ∀ i α x → + β y → ∈ V i >+\beta >\in V_> , а значит α x → + β y → ∈ ⋂ i V i >+\beta >\in \bigcap _V_> , следовательно, ⋂ i V i V_> — подпространство пространства V.

Линейная оболочка системы векторов [ править ]

Определение 2: Линейной оболочкой L системы A называется множество всех линейных комбинаций векторов системы A. Обозначение L(A).

Можно показать, что для любых двух систем A и B,

  1. A линейно выражается через B тогда и только тогда, когда L ( A ) ⊂ L ( B ) . (1)
  2. A эквивалентна B тогда и только тогда, когда L(A)=L(B). (2)

Доказательство следует из предыдущего свойства

3 Линейная оболочка любой системы векторов является подпространством пространства V.

Доказательство

  1. x → + y → = ( α 1 + β 1 ) a → 1 + ( α 2 + β 2 ) a → 2 + . . . ( α k + β k ) a → k ∈ L >+>=(\alpha _+\beta _)_+(\alpha _+\beta _)_+. (\alpha _+\beta _)_\in L> , так как представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.
  2. ( ∀ α ∈ P ) ( ∀ x → ∈ L ) α x → = α α 1 a → 1 + α α 2 a → 2 + . . . α α k a → k ∈ L >\in L)\quad \alpha >=\alpha \alpha __+\alpha \alpha __+. \alpha \alpha __\in L> , так как тоже представляет собой линейную комбинацию векторов системы A.

Рассмотрим теперь матрицу A ∈ M m , n > . Линейная оболочка строк матрицы A называется строчечным пространством матрицы и обозначается Lr(A). Линейная оболочка столбцов матрицы A называется столбцовым пространством и обозначается Lc(A). Обратите внимание, что при m ≠ n строчечное и столбцовое пространство матрицы A являются подпространствами разных арифметических пространств P n и P m соответственно. Пользуясь утверждением (2) , можно придти к следующему выводу:

Теорема 3: Если одна матрица получена из другой цепочкой элементарных преобразований, то строчечные пространства таких матриц совпадают.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Чем отличается базис от линейной оболочки?

Чем отличается базис от линейной оболочки?
12.12.2012, 19:16

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться. Чем отличается базис от линейной оболочки?

Ба́зис (др.-греч. βασις, основа) — множество таких векторов в векторном пространстве, что любой вектор этого пространства может быть единственным образом представлен в виде линейной комбинации векторов из этого множества — базисных векторов.

Линейная оболочка — это набор векторов, которые задают линейное подпространство. Строго говоря, линейная оболочка — это множество всех линейных комбинаций данных векторов.

Я вот никак не пойму отличие. Может покажите на примере?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *