Доказать что функция измерима по лебегу примеры
Перейти к содержимому

Доказать что функция измерима по лебегу примеры

  • автор:

Определение измеримой функции

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E (f [/math] обладает свойством [math] P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] .
Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы (то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \iff [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

Пусть [math] E(f \lt a) [/math] — измеримо для любого [math] a [/math] . Установим измеримость остальных:

Используя ту же технику, легко установить, что из измеримости [math]f[/math] на [math]E[/math] следует и измеримость самого [math]E[/math] , [math]E = \bigcup\limits_^\infty E(f \lt n)[/math]

Пример измеримой функции — [math]f(x) = C[/math] на измеримом [math]E[/math] .

[math]E(f\lt a) = \left\ < \beginE &, C \lt a \\ \varnothing &, C \geq a \end \right. [/math]

Так как [math]E[/math] измеримо, то постоянная функция на нём измерима.

Всё это распространяется на [math]E = \bigcup\limits_p E_p[/math] , [math]E_p \in \mathcal, E_p [/math] — дизъюнктны.

Аналогично, измерима на [math]E[/math] функция [math]f : E \to \mathbb R [/math] , [math]f(x) = a_p, x\in E_p[/math] .

Пусть [math]F \subset \mathbb^n[/math] — замкнутое множество, в [math]\mathbb^n[/math] есть мера [math]\lambda[/math] . Тогда непрерывная функция [math]f : F \to \mathbb[/math] — измерима.

Установим измеримость [math]F(f\leq a)[/math] .

Проверим, что оно замкнуто.

Рассмотрим последовательность [math]\bar x_j \in F(f\leq a)[/math] , пусть она сходится к [math] \bar x [/math] . По определению множества Лебега, [math]f(\bar x_j) \leq a[/math] .

Так как [math] F [/math] — замкнутое, и [math]\bar x_j \in F[/math] , то предел тоже принадлежит [math]F[/math] . Значит, по непрерывности, [math]f(\bar x_j) \to f(\bar x)[/math] .

По непрерывности [math] f [/math] , из того, что [math] f(\bar x_j) \le a [/math] , следует [math]f(\bar x)\leq a [/math] , то есть, [math] \bar x \in F(f\leq a)[/math] .

Вывод: класс непрерывных функций содержится в классе измеримых.

Следует обратить внимание, что столь простые рассуждения проходят по той причине, что мы не интересуемся тем, как устроены множества Лебега. Нас интересует только одно их свойство — принадлежность [math]\mathcal[/math] . Природа этих множеств может быть крайне сложной.

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math] . Тогда

1) [math]|f|[/math] — измерим
1.5) [math]kf[/math] — измерима ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измерим
3) [math]f + g[/math] — измерима

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

1 и 2) доказываются одинаково. Рассмотрим, например, [math]E(f^2\lt a)[/math] .

При [math]a\geq 0[/math] оно может быть непустым. Но это равносильно [math]E(-\sqrt \lt f \lt \sqrt) = E(-\sqrt \lt f) \cap E(f\lt \sqrt)[/math] .

Это пересечение двух измеримых множеств Лебега [math]\Rightarrow[/math] измеримо.

1.5) Если [math] k = 0 [/math] , то [math] f = 0 [/math] и она измерима как постоянная.

3) Доказывается чуть сложнее

[math]f(x) + g(x) \gt a \iff g(x) \gt a — f(x)[/math]

Базируясь на том,что [math]\mathbb[/math] всюду плотно на оси, [math]\exists r \in \mathbb : g(x) \gt r \gt a — f(x)[/math]

Тогда [math]E(f + g\gt a) = \bigcup\limits_>(E(g\gt r) \cap E(f \gt a — r))[/math]

Это объединение пересечений измеримых множеств Лебега функций [math]f[/math] и [math]g[/math] , операций — счётное число. Значит, [math]f+g[/math] тоже измеримо.

2. Мера на полукольце множеств и ее основные свойства

Пусть [math] m [/math] — мера на полукольце [math] \mathcal R [/math] , тогда:

1) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и дизъюнктных [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]\bigcup\limits_ A_n \subset A [/math] выполняется [math] \sum\limits_ m(A_n) \le m(A) [/math]

2) Для [math] A \in \mathcal R [/math] и [math] A_1, A_2, \ldots, A_n, \ldots \in \mathcal R[/math] таких, что [math]A \subset \bigcup\limits_ A_n [/math] выполняется [math] m(A) \le \sum\limits_ m(A_n) [/math] ( [math]\sigma[/math] -полуаддитивность)

Замечание: в случае [math] n = 1[/math] второе свойство [math]A \subset B \Rightarrow m(A) \le m(B) [/math] называют монотоностью меры.

3. Внешняя мера, порожденная мерой на полукольце

Определение:
Внешняя мера на множестве [math] X [/math] — неотрицательная функция, заданная на множестве всех подмножеств [math] X [/math] , и удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) [math] \mu^* (\varnothing) = 0 [/math]

Пусть заданы полукольцо [math] \mathcal R [/math] из [math]X[/math] и мера [math] m [/math] на нем. Тогда для любого множества [math] A \subset X [/math] :

1) Полагаем [math] \mu^*(A) = + \infty [/math] , если [math] A [/math] нельзя покрыть не более чем счетным количеством множеств из полукольца.

2) Полагаем [math] \mu^*(A) = \inf\limits_ E_n> \sum\limits_ m(E_n) [/math] , в противном случае, то есть внешняя мера является нижней гранью множества мер для всех не более чем счетных покрытий [math] A [/math] из полукольца [math] \mathcal R [/math] .

Определенная нами [math] \mu^* [/math] является корректной внешней мерой на [math] X [/math] , при этом, для [math] A \in \mathcal R, \mu^*(A) = m(A) [/math] .

4. Понятие о мю*- измеримых множествах. Доказательство основной теоремы

Определение:
Пусть есть множество [math] X [/math] и внешняя мера [math] \mu^* [/math] на нем, и множества [math] A, B [/math] являются подмножествами [math] X [/math] . Множество [math] A [/math] хорошо разбивает множество [math] B [/math] , если [math] \mu^*(B) = \mu^*(B \cap A) + \mu^*(B \cap \overline) [/math] .
Определение:
Множество [math]A \in X[/math] называется μ*-измеримым, если оно хорошо разбивает всякое множество [math]E \in X[/math] .

5. Распространение меры с полукольца на сигма-алгебру по Каратеодори. Доказательство теоремы

  1. [math]\mathcal \subset \mathcal[/math]
  2. [math]\mu|_\mathcal = m[/math]

6. Теорема о повторном применении процесса Каратеодори

[math]\mu^*=\nu^*[/math] (повторное применение процесса Каратеодори не приводит нас к новой мере).

7. Критерий мю*-измеримости

Пусть [math]E\subset X[/math] . Тогда [math]E[/math] -измеримо [math]\iff[/math] [math]\forall\varepsilon \gt 0[/math] [math] \exists (A_\varepsilon, B_\varepsilon), A_\varepsilon, B_\varepsilon\in\mathcal : A_\varepsilon \subset E \subset B_\varepsilon : \mu(B_\varepsilon\setminus A_\varepsilon) \lt \varepsilon[/math]

8. Объем многомерного параллелепипеда и его основные свойства

Определение:
[math]\Pi = \langle a_1; b_1 \rangle \times \cdots \times \langle a_n; b_n \rangle = \[/math]
Определение:
[math]v(\Pi) = \prod\limits_^n (b_j — a_j)[/math] — объём прямоугольника

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек, [math]\bigcup\limits_^p \Pi_j = \Pi[/math] (прямоугольник), тогда [math]v(\Pi)=\sum\limits_^pv(\Pi_j)[/math] .

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] попарно не имеют общих внутренних точек и [math]\bigcup\limits_^p\Pi_j \subset \Pi[/math] . Тогда [math]v(\Pi) \geq \sum\limits_^pv(\Pi_j)[/math]

Пусть [math]\Pi_1, \ldots, \Pi_p[/math] — прямоугольники, [math]\Pi \subset \bigcup\limits_^p \Pi_j[/math] . Тогда [math]v(\Pi)\leq\sum\limits_^pv(\Pi_j)[/math]

9. Объем, как мера на полукольце ячеек

Объём ячейки — [math]\sigma[/math] -аддитивная функция на [math]\mathcal[/math] , то есть, мера на этом множестве.

10. Некоторые классы измеримых по Лебегу множеств (счетные, открытые, замкнутые)

TODO: дописать: чего-нить по теме

11. Теорема о внешней мере в R^n

Пусть [math] E \subset \mathbb R ^n [/math] . Тогда [math] \lambda^*E = \inf\limits_ \lambda G [/math] ( [math] G [/math] — открытые множества).

TODO: дописать: чего-нить по теме

12. Структура измеримого по Лебегу множества

Пусть [math] E [/math] измеримо по Лебегу. Тогда оно представимо в виде [math] E = A \cup B [/math] , причем A — множество типа [math] F_ [/math] , а [math] \lambda B = 0[/math] .

13. Определение измеримых функций, теорема о множествах Лебега

Будем рассматривать пространство [math] (X, \mathcal A, \mu) [/math] , считаем, что мера [math] \mu [/math] — [math] \sigma [/math] -конечная, полная, то есть:

[math] X = \bigcup\limits_p X_p : \mu X_p \lt + \infty [/math]

[math] \mu B = 0 , A \subset B \Rightarrow A \in \mathcal A, \mu A = 0 [/math]

Пусть [math] E \subset X, f: E \rightarrow \mathbb R [/math] , будем обозначать как [math] E ( P )[/math] совокупность точек из [math]E[/math] , для которых свойство [math] P [/math] верно.

Определение:
[math] a \in \mathbb R [/math] , [math] E(f \lt a), E(f \le a), E(f \gt a), E(f \ge a) [/math] — множества Лебега функции [math] f [/math] .
Определение:
[math] f : E \rightarrow \mathbb R [/math] называется измеримой по Лебегу, если для любого [math] a \in \mathbb R [/math] множества Лебега всех четырех типов измеримы(то есть, принадлежат сигма-алгебре).

Функция измерима по Лебегу на [math] E [/math] [math] \Leftrightarrow [/math] для любого [math] a [/math] измеримо её множество Лебега одного любого фиксированного типа.

14. Арифметика измеримых функций

Пусть [math]f[/math] и [math]g[/math] измеримы на [math]E[/math] . Тогда

1) [math]|f|[/math] — измерима
1.5) [math]kf[/math] — измеримо ( [math]k \in \mathbb[/math] )
2) [math]f^2[/math] — измеримо
3) [math]f + g[/math] — измеримо

4) [math]f \cdot g[/math] — измеримо

15. Измеримость поточечного предела измеримых функций

Пусть [math]E[/math] измеримо, [math]f_n : E \to \mathbb[/math] , [math]f_n[/math] — измеримо на [math]E[/math] , [math]\forall x \in E : f(x) = \lim\limits_ f_n(x)[/math] Тогда [math]f[/math] тоже измеримо на [math]E[/math] .

16. Эквивалентные функции и сходимость почти всюду

Определение:
Пусть заданы функции [math]f_n, f[/math] на [math]E[/math] , [math]E’ = \ f_n(x) \ne f(x)\>[/math] . Если [math]\mu E’ = 0[/math] , то [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] .
Определение:
Две функции [math]f[/math] и [math]g[/math] , определённые на множестве [math]E \in X[/math] , называются эквивалентными на этом множестве, если [math]f(x) = g(x)[/math] почти всюду.

Пусть [math]f_n[/math] — измеримо, [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] . Тогда [math]f[/math] — измерима.

17. Предел по мере и его единственность

Пусть функции [math]f_n, f[/math] — измеримы на [math]E[/math] , множества [math]E(|f_n — f| \geq \delta)[/math] , где [math]\delta \gt 0[/math] , измеримы.

Определение:
[math]f_n[/math] стремятся по мере на [math]E[/math] к [math]f[/math] ( [math]f_n\stackrel <\Rightarrow>f[/math] ), если [math]\forall\delta\gt 0 : \mu E(|f_n — f| \geq \delta) \xrightarrow[n\to\infty]<> 0[/math]

В определённом смысле, это наиболее слабый вид сходимости, что подтверждает следующая классическая теорема Лебега.

//а единственность у нас вообще была? 0_о Если да, то TODO: добавить .

А в каком смысле единственность? Очевидно же, что если функциональная последовательность сходится почти всюду к [math] f [/math] , то она будет сходиться почти всюду и к любой функции [math]g[/math] такой, что [math]g \sim f[/math] . А значит, будет сходиться к ней и по мере.

18. Теорема Лебега о связи сходимости п.в. и по мере

[math]\mu E\lt +\infty[/math] , [math]f_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] . Тогда [math]f_n\stackrel <\Rightarrow>f[/math] .

19. Теорема Рисса

Пусть последовательность функций сходится по мере к функции [math]f[/math] на [math]E[/math] . Тогда из неё можно выделить подпоследовательность, которая сходится почти всюду на [math]E[/math] .

20. Теорема Егорова

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math] , [math]f_n \to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] . Тогда, для любого [math]\delta \gt 0: \exists E» \subset E[/math] , [math]\mu E» \gt \mu E — \delta[/math] , [math]f_n \stackrel f[/math]
Смысл теоремы Егорова в том, что сходимость почти всюду не очень сильно (с точностью до множества малой меры) отличается от равномерной сходимости.

21. Теоремы Лузина (без док-ва) и Фреше

[math]E \subset \mathbb^n[/math] , [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] по мере Лебега. Тогда [math]\forall\varepsilon\gt 0\ \exists \varphi[/math] — непрерывная на [math]\mathbb^n[/math] , [math]\lambda_nE(f\ne\varphi)\lt \varepsilon[/math]

Это принято называть [math]C[/math] -свойством Лузина.

Если, помимо всего прочего, [math]f(x)[/math] ограничена [math]M[/math] на [math]E[/math] , то [math]\varphi[/math] можно подобрать таким образом, что она ограничена той же постоянной на [math]\mathbb^n[/math] .

[math]E\subset \mathbb^n[/math] , [math]f[/math] — измерима на [math]E[/math] . Тогда [math]\exists\varphi_n[/math] — последовательность непрерывных на [math]\mathbb^n[/math] функций, такая, что [math]\varphi_n\to f[/math] почти всюду на [math]E[/math] .

22. Суммы Лебега-Дарбу и их свойства, определение интеграла Лебега, совпадение интеграла Римана с интегралом Лебега

Разобьём [math]E[/math] на конечное число попарно дизъюнктных измеримых частей:

[math]E = \bigcup\limits_^n e_p[/math] — дизъюнктные и измеримые. [math]\tau = \[/math] — разбиение.

Строим системы чисел [math]m_p(f) = m_p = \inf\limits_ f(x)[/math] , [math]M_p(f) = M_p = \sup\limits_ f(x)[/math] , они конечны.

Определение:
Верхняя и нижняя суммы Лебега-Дарбу — [math]\underline(\tau) = \sum\limits_^n m_p \mu e_p[/math] , [math]\overline(\tau) = \sum\limits_^n M_p \mu e_p[/math] . Они аналогичны суммам Дарбу для интеграла Римана.
Определение:
[math]\tau_1, \tau_2[/math] — разбиения. Если любой отрезок [math] e \in \tau_1[/math] содержится в каком-то отрезке [math]e’ \in \tau_2[/math] , то [math]\tau_1[/math] мельче [math]\tau_2[/math] , [math]\tau_1 \leq \tau_2[/math] .

1. [math]\underline(\tau) \leq \overline(\tau)[/math]

2. [math]\tau_1 \leq \tau_2 \Rightarrow \underline(\tau_2) \leq \underline(\tau_1)[/math] , [math]\overline(\tau_1) \leq \overline(\tau_2)[/math]

3. [math]\forall \tau_1, \tau_2 : \underline(\tau_1) \leq \overline(\tau_2)[/math]

Тогда, если определить [math]\underline = \sup\limits_ \underline(\tau)[/math] , [math]\overline = \inf\limits_ \overline(\tau)[/math] , то из леммы следует: [math]\underline(\tau) \leq \underline \leq \overline \leq \overline(\tau)[/math] .

Определение:
Если [math]\underline = \overline[/math] , то [math]f[/math] — интегрируема по Лебегу на [math]E[/math] , общее значение этих чисел — интеграл Лебега, [math]\underline=\overline = \int\limits_E f d\mu[/math] .

[math]f\in\mathcal(a;b) \Rightarrow f \in \mathcal[/math] . Иначе говоря, существует интеграл Лебега [math]\int\limits_ fd\lambda = \int\limits_a^b fdx[/math] .

23. Интегрируемость ограниченной, измеримой функции

Пусть [math]E[/math] — произвольное измеримое множество, [math]f: E \to \mathbb>[/math] — измеримая функция.

Рассмотрим набор множеств [math] e [/math] , такой, что [math]e \in E[/math] — измеримо, [math]\mu e \lt +\infty[/math] , [math]f[/math] — ограничена на [math]e[/math] . В такой ситуации существует [math]\int \limits_ f d\mu[/math] — интеграл Лебега.

Определение:
[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math] , если [math]\sup \limits_<\> \int \limits_ f d\mu = \int \limits_ f d\mu[/math] — интеграл по [math]E[/math] .

24. Счетная аддитивность интеграла

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_ E_n[/math] . [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb>[/math] . Тогда [math]\int \limits_ f = \sum \limits_ \int \limits_ f[/math] .

25. Абсолютная непрерывность интеграла

Пусть [math] f [/math] — суммируема на [math] E [/math] . Тогда [math] \forall \varepsilon \gt 0\ \exists \delta \gt 0: \mu A \lt \delta, A \subset E \Rightarrow \left| \int\limits_A f \right| \lt \varepsilon [/math]

26. Арифметические свойства интеграла Лебега

Пусть существует [math] \int\limits_E fd\mu[/math] , [math]E = \bigcup\limits_n E_n[/math] — измеримы и дизъюнктны. Тогда [math] \int\limits_E fd\mu = \sum\limits_n \int\limits_ fd\mu [/math] .

Пусть [math]\exists\int f, \int g[/math] , [math]\alpha, \beta \in \mathbb[/math] . Тогда [math]\alpha\int\limits_E fd\mu + \beta\int\limits_E gd\mu = \int\limits_E(\alpha f + \beta g)d\mu[/math] .

27. Теорема Лебега о предельном переходе под знаком интеграла

Пусть [math]\mu E \lt +\infty[/math] , [math]f_n[/math] , [math]f[/math] — измеримы на [math]E[/math] , [math]|f| \le M, |f_n(x)| \le M\ \forall n[/math] на [math]E[/math] . Если [math]f_n \Rightarrow f[/math] на [math]E[/math] , тогда [math]\int \limits _ f_n \to \int \limits_ f[/math] .

28. Определение интеграла от суммируемой функции

Определение:
[math] f [/math] суммируема на [math] E [/math] , если [math]\sup\int\limits_fd\mu \lt +\infty[/math] , где [math]e[/math] — хорошее множество, то есть [math]e \subset E[/math] , [math]\mu e \lt +\infty[/math] , [math]f[/math] — ограничена на [math]e[/math] .

29. Сигма-аддитивность интеграла неотрицательных функций

Пусть [math]E[/math] — измеримо, разбито на дизъюнктные измеримые части: [math]E = \bigcup \limits_ E_n[/math] . [math]f[/math] — измеримо, [math]f: E \to \mathbb>[/math] . Тогда [math]\int \limits_ f = \sum \limits_ \int \limits_ f[/math] .

30. Арифметические свойства интеграла неотрицательных функций

(Конечно долго, но кто хочет — исправьте) [math]\sigma[/math] -аддитивность позволяет переносить на любые [math]f \ge 0[/math] стандартные свойства интеграла Лебега, например, линейность. Действительно, [math] \int \limits_(f + g) = \int \limits_ f + \int \limits_ g[/math] для [math]f, g \ge 0[/math] :

Чтобы свести ситуацию к ограниченным функциям, мы разбиваем [math]E[/math] на измеримые, дизъюнктные множества. [math]E = \bigcup \limits_^ <\infty>E_(n — 1 \le f \lt n)[/math] . Аналогично, [math]E = \bigcup \limits_^ <\infty>E_(n — 1 \le g \lt n)[/math] .

После этого, [math]E = \bigcup \limits_^<\infty>(E_ \cap E_) = \bigcup \limits_^ <\infty>B_p[/math] . За счет [math]\sigma[/math] -конечности меры, можно считать, что [math]\forall p: \mu B_p \lt +\infty[/math] .

За счет [math]\sigma[/math] -аддитивности интеграла от неотрицательной функции:

[math]\int \limits_ (f+g) = \sum \limits_

\int \limits_ (f + g) = \sum \limits_

(\int \limits_ f + \int \limits_ g) = \sum \limits_

\int \limits_f + \sum \limits_

\int \limits_ g = \int \limits_ f + \int \limits_ g[/math] . Получили линейность.

31. О распространении основных свойств интеграла Лебега на суммируемые функции произвольного знака

Так как [math] \int\limits_E [/math] определен линейной формулой, то на суммируемые функции произвольного знака переносятся также [math] \sigma [/math] -аддитивность и линейность интеграла. Достаточно их написать для [math] f_+, f_- [/math] и сложить.

32. Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Пусть на [math] E \subset X [/math] задана последовательность измеримых функций [math] f_n [/math] , таких, что [math] |f_n(x)| \le \varphi(x) [/math] почти всюду, где [math] \varphi [/math] — суммируемая.

Пусть [math] f_n \underset <\Rightarrow>f [/math] (по мере). Тогда допустим предельный переход под знаком интеграла:

[math] \lim\limits_ \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math] .

33. Теорема Б.Леви и следствие о ряде из интегралов

Избавимся от требования наличия суммируемой мажоранты:

Пусть на E задана последовательность измеримых функций, каждая из которых почти всюду неотрицательна и [math] f_n(x) \le f_(x) [/math] . [math] f(x) = \lim\limits_ f_n(x) [/math] — почти везде конечна на [math] E [/math] . Тогда [math] \lim \int\limits_E f_n = \int\limits_E f [/math] .

Пусть [math] u_n(x) \ge 0 [/math] на и измеримы на [math] E [/math] , и [math] \sum\limits_^ <\infty>\int\limits_E u_n [/math] — сходится. Тогда [math] \sum\limits_^ <\infty>u_n(x) [/math] сходится почти всюду на [math] E [/math] .

34. Теорема Фату

Пусть измеримые [math] f_n [/math] неотрицательны на [math] E [/math] и сходятся на [math] E [/math] по мере к функции [math] f [/math] . Тогда [math] \int\limits_E f \le \sup\limits_ \int\limits_E f_n [/math] .

35. Неравенства Гельдера и Минковского

[math] \int\limits_E |f| |g| \le ||f||_p ||g||_q [/math] — неравенство Гёльдера для интегралов. [math] ||f + g||_p \le ||f||_p + ||g||_p [/math] — неравенство Минковского для интегралов (полуаддитивность).

36. Пространства, полнота

[math] L_p(E) = \^p d \mu \lt + \infty \> [/math] , то есть пространство функций, суммируемых с [math] p [/math] -ой степенью на [math] E [/math] . Измеримость [math] f [/math] на [math] E [/math] принципиальна, так как в общем случае из измеримости [math] |f|^p [/math] не вытекает измеримость [math] f [/math] .

[math] L_p(E) [/math] — линейное пространство.

[math] L_p(E) [/math] с нормой, определенной как [math] ||f||_p = \left( \int\limits_E |f|^p \right)^ <1/p>[/math] — нормированное пространство.

[math] L_p(E) [/math] — полное.

37. Всюду плотность множества С в пространствах

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Мера и интеграл Лебега, неизмеримые функции

На страницу Пред. 1 , 2 , 3 След.

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 19:41

Задача звучит таким образом
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.но нам дали указания, подумать) и Витали использовать совсем в крайнем случае.
Значит функция измерима если множество на котором она задана измеримо. я понял, что моя проблема предъявить неизмеримое множество и доказать, что оно неизмеримо.
Я понимаю, что в качестве множества А я могу предъявить множество Витали и тогда задача будет тривиальной, но думаю, что такую задачу мне не засчитают(

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 19:44

Заслуженный участник

Ну дак постройте «такое же» множество на отрезке, только через рациональные числа.
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 19:49

Последний раз редактировалось Kuzi 17.05.2011, 19:49, всего редактировалось 1 раз.

Значит я беру этот отрезок, все точки отрезка разбиваю на классы в 1 класс те точки разность между которыми рациональное число . далее выбираю по 1ому представителю из каждого класса полученное множество обозначаю А оно и есть не измеримое?

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 19:56

Заслуженный участник

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:02

Спасибо большое!
Получается f(x) = 1 если x принадлежит множеству A, и равно -1 в остальных случаях? как писал Gortaur
Каким образом будет измерим модуль этой функции?

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:03

Заслуженный участник

Модуль этой функции — какая-то другая функция. Какая? Чему она равна?
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:04

Последний раз редактировалось Gortaur 17.05.2011, 20:15, всего редактировалось 1 раз.

Здесь было написано решение. Забыл, т.к. классов счетное число — почему меру-то нельзя построить??
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:09

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось ИСН 17.05.2011, 20:16, всего редактировалось 2 раз(а).

С чего вдруг счётное-то?
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:16
Надеюсь, он не видел. Так я забыл, чем это мешает нам построить меру?
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:19

Хватит надо мной издеваться, я знаю что модуль этой функции 1 всегда константа, и что константа измерима.. я о том надо ли ещё что-то рассматривать и доказывать, относительно того что модуль измерим.

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:21

Заслуженный участник

Kuzi в сообщении #446849 писал(а):

Задача звучит таким образом
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.но нам дали указания, подумать) и Витали использовать совсем в крайнем случае.
Значит функция измерима если множество на котором она задана измеримо . я понял, что моя проблема предъявить неизмеримое множество и доказать, что оно неизмеримо.
Я понимаю, что в качестве множества А я могу предъявить множество Витали и тогда задача будет тривиальной, но думаю, что такую задачу мне не засчитают(

Выделенное мной — неверно.
Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:23

Последний раз редактировалось Kuzi 17.05.2011, 20:26, всего редактировалось 2 раз(а).

Функция называется измеримой, если множество E измеримо и при любом вещественном например а множество (f>a) измеримо. так устроит?
мне было лень набирать всё определение.

— Вт май 17, 2011 21:26:47 —

Просветите дурака что нам мешает, я опять не понимаю где у меня ошибка?

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:36

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Dan B-Yallay 17.05.2011, 20:40, всего редактировалось 2 раз(а).

Kuzi в сообщении #446883 писал(а):

Функция называется измеримой, если множество E измеримо и при любом вещественном например а множество (f>a) измеримо. так устроит?
мне было лень набирать всё определение.

Так устроит.
Цитата:
Просветите дурака что нам мешает, я опять не понимаю где у меня ошибка?

$[0,1]$

B построенном Вами же примере неизмеримая функция определена на измеримом множестве .
Понятно?
Сравните с таким «определением»: Fункция непрерывна, если она определена на непрерывном участке прямой .

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:43

Последний раз редактировалось Kuzi 17.05.2011, 20:49, всего редактировалось 1 раз.

а Как же множество А?
Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция.
я сам не понимаю каким образом я должен на измеримом множестве строить неизмеримую функцию..

— Вт май 17, 2011 21:49:43 —

Вообще объясните мне пожалуйста эта задача в таком виде Привести пример неизмеримой функции, заданной на отрезке [0,1] модуль которой измеримая функция. корректно задана?

Re: Мера и интеграл Лебега
17.05.2011, 20:51

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Dan B-Yallay 17.05.2011, 20:55, всего редактировалось 2 раз(а).

Вы в измеримом множестве $A$выбираете неизмеримое подмножество $S$и определяете $f$по-разному на $S$и на $A / S $. После чего функция определенная таким образом становится неизмеримой, согласно правильного определения.

Да, задача поставлена корректно.

Страница 2 из 3 [ Сообщений: 39 ] На страницу Пред. 1 , 2 , 3 След.
Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Методическое пособие [В.В. Дайняк] (2012) / Тема 3

Множество X, на котором задана некоторая -алгебра его подмножеств  и задана мера называется пространством с мерой и обозначается (X, , ). Будем предполагать, что -аддитивная полная мера.

В дальнейшем будем изучать числовые функции, заданные на измеримом пространстве X.

Функция f : XR называется измеримой, если для любых cR множество Ac = x : f (x) < c> измеримо, т.е. Ac  .

Теорема 1. Числовая функция f, заданная на измеримом пространстве (X, ) измерима тогда и только тогда, когда для всех cR одно из множеств x : f (x) c>, x : f (x) > c>, x : f (x) c> измеримо.

На числовой прямой измеримой является любая непрерывная функция, а также функция Дирихле

Пусть A(x) – характеристическая функция множества A, т.е. A(x)=1, если xA и A(x)=0, если xA. Функция A(x) измерима, если измеримо множество A.

Обозначим через S(X) множество всех измеримых числовых функций f : XR, заданных на измеримом пространстве (X, ).

Теорема 2. Пусть f : X R – измеримая функция. Тогда для любой измеримой функции g : R R их композиция h = gf также измерима на X.

Теорема 3. Пусть f, gS(X), = const. Тогда следующие функции измеримы на X : f, f 2 , f+g, fg, fg (при условии, что g(x)0 на X).

Одним из свойств пространства S(X) является его замкнутость относительно предельного перехода. Мы будем рассматривать четыре типа сходимости.

  1. Точечная сходимость.

Последовательность fn сходится к функции f поточечно, если для всех xXfn(x)f(x) при n.

  1. Равномерная сходимость.

Последовательность функций fn сходится к f равномерно, если для любого > 0 существует n такой, что при n>n |fn(x) –f(x)| < для всех xX.

  1. Сходимость почти всюду.

Последовательность fn сходится к f, если fn(x)f(x) при n для всех xX за исключением множества меры нуль.

  1. Сходимость по мере.

Говорят, что последовательность конечных измеримых функций fn сходится по мере к измеримой функции f, если для всякого числа > 0 Очевидно, что из равномерной сходимости следует сходимость точечная, а из точечной – сходимость почти всюду. Теорема 4.Пусть последовательностьfn(x) измеримых функций для всехxXсходится к функцииf. Тогда и функцияfизмерима.Следствие 1. Если , fk(x)S(X) сходится к f равномерно, то f(x)S(X). Следствие 2. Если , fk(x)S(X) сходится к f почти всюду, то f(x)S(X). Следствие 3. Существует разрывная на отрезке [a;b] функция, которая не является пределом почти всюду сходящейся последовательности непрерывных функций. В качестве такой функции можно взять неизмеримую функцию. Теорема 5(Лебега).Пусть последовательностьконечных измеримых функций сходится к измеримой функцииfпочти всюду. Тогда она сходится и по мере.Теорема 6(Рисса).Пусть последовательностьконечных измеримых функций сходится к измеримой функцииfпо мере. Тогда из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся почти всюду. Пусть задано пространство (X, , ) с конечной мерой. Говорят, что некоторое свойство выполнено почти всюду, если оно выполнено на XA, а (A)=0. Будем рассматривать числовые функции, которые почти всюду конечны. Две функции f и g называются эквивалентными, если они совпадают почти всюду, т.е. x: fg>=0. Теорема 7.ПустьfS(X) иfg, тогдаgS(X).Теорема 8(Егорова).ПустьX– пространство с конечной мерой и последовательностьизмеримых функций сходится почти всюду наXк измеримой функцииf. Тогда для любого>0 найдётся такое измеримое множествоXX, что:

  1. (X\X);
  2. наXпоследовательностьсходится кfравномерно.

Теорема 9(Лузина).ПустьXR– измеримое по Лебегу множество конечной меры и пустьf:XRизмерима и почти всюду конечна. Тогда для всех>0 существуетFX– замкнутое множество, что функцияfнаFнепрерывна и(X\F).

Примеры решения задач

Задача 1. Пусть – последовательность измеримых на X функций. Тогда , измеримы на X. Решение. Обозначим через h(x) = . Измеримость h(x) означает, что для  cR измеримы множества . Покажем, что =, что и будет означать измеримость h. Пусть , т.е. h(x)>c. Тогда h(x)>c+ при достаточно малом >0. По определению точной верхней границы найдётся такой номер n0, что >h(x). Отсюда >(c+)-=с и потому , а тем более, . С другой стороны, пусть . Это значит, что найдётся такой номер n0, что >c. Но тогда h (x)  >c, т.е. . Равенство доказано. Аналогично доказывается измеримость . Задача 2. Определим функцию f(x) на [0,1] следующим образом. Если x = 0,n1n2… – десятичная запись числа x, то . Решение. Рассмотрим множество чисел отрезка [0,1], в десятичной записи которых присутствует цифра 9. Мера данного множества равна . Следовательно, функция f(x) равна 9 почти всюду. Функция f(x) измерима как постоянная функция. Задача 3. Доказать, что функция f измерима тогда и только тогда, когда измерима функция sin f. Решение. Обозначим через g(x) = sin x, тогда при измеримости функции f имеем h(x) = g(f(x)) = sin f – композиция непрерывной и измеримой и поэтому sin f будет измеримой. С другой стороны, пусть измерима функция h(x) = sin f(x), покажем, что измерима функция f(x). Измеримость sin f означает, что для сR измеримо множество f(x):sinf(x)>c> = Таким образом, измеримыми являются пустое множество, числовая прямая и для cR множество , arccos c [0,]. Задача 4. Доказать, что функция y = f(x), xR измерима на R, если 1) f(x) = sin[x]; 2) f(x)=. Решение. 1) Функция f(x) принимает счётное число значений sink, kZ. А именно, , если xAk= [k, k+1[ и =R. Так как промежутки Ak являются измеримыми, то f(x) является простой функцией и, следовательно, измеримой. 2) Члены рассматриваемого ряда являются непрерывными функциями и поэтому измеримы. Если x 0, то эквивалентность при n позволяет сделать вывод о равномерной сходимости этого функционального ряда для x  0. Аналогично, если x>0, то при n, и поэтому для x>0 ряд сходится равномерно. Тогда его сумма является непрерывной, а значит, измеримой функцией. Задача 5. Доказать, что функция z = f(x, y), (x, y)  R 2 является измеримой на R 2 , если f(x,y)=. Решение. Поскольку функции z=[xy] и z=[x 2 +y 2 ] простые, то они измеримы на плоскости. Измеримой для каждого номера n является функция . Из сходимости функционального ряда (что устанавливается с помощью признака сравнения) следует измеримость на R 2 функции f(x,y). Задача6. Для функции f построить последовательность простых измеримых функций, равномерно сходящуюся к f, если Решение. Исходя из теоремы, для измеримой конечной на множестве A функции f(x) последовательность простых измеримых функций строится так: для каждого целого kна множестве . Поэтому для x  0 полагаем fn(x)=0, а на множествах x > 0 : > = x>0 : >, k = 0,1,…,n –1 полагаем . Задача7. Доказать, что при n последовательность fn(x)=sin nx+cos nx сходится к нулю почти всюду на R относительно меры Лебега. Решение. При тех xR, для которых |sin x|x|, . Если же xR таково, что sin x = 1 (или cos x = 1), то предел функции sin nx (соответственно cos nx) равен единице или не существует. Таким образом, рассмотрим множество A0=xR: sin x=1 или cos x = 1> = k : kZ>k : kZ>. Множество A0 – счётное (как объединение двух счётных множество) и поэтому (A0)=0. Тогда для каждой точки xR\A0, и, следовательно, почти всюду последовательность fn(x) сходится к f(x)=0. Задача8. Для последовательности fn(x)=xn , x[0,1] указать множество, на котором fn(x) сходится равномерно, причём мера множества, на котором нет сходимости, может быть сделана сколь угодно малой. Решение. Рассмотрим произвольное > 0. Если 1, то в качестве X возьмём, например, отрезок [0, 1/2]. Тогда (A) = =1/2>(X)– = 1–, где X=[0,1]. , т.е. на [0,1/2] последовательность равномерно сходится к функции f(x)=0. Если же X = [0,1-/2], тогда (X)=1-/2>(X)-=1-, т.е. (X\X) = = 0. Задача9. Исследовать на сходимость по мере к функции f на измеримом множестве A следующие последовательности:

  1. fn(x)=xn , x[0,1],
  2. fn(x)=cos nx, xR.

Решение. 1) Рассмотрим для   > 0 измеримое множество x[0,1] : xn> = [,1]. Отметим, что когда  > 1, то множество пусто. Тогда = = 0 и поэтому на [0,1]. С другой стороны, xn  0 почти всюду (см. пример), тогда по мере. 2) Пусть  1, тогда . Значит x  R : > = = +. Поэтому заданная последовательность не сходится по мере. Задание 1. Пусть X = [-1,1[, на X задана мера Лебега. Выяснить, является ли функция f: 1)измеримой; 2)ограниченной; 3)простой. Найти все её точки непрерывности и точки разрыва. Построить эквивалентную функцию с минимальным множеством точек разрыва.

Задание 2. Доказать, что функция y = f(x), xRn измерима на Rn .

Задание 3. Для заданной на отрезке [0,1] функции f построить последовательность fn простых функций, равномерно сходящуюся к f.

Задание 4. Исследовать на сходимость следующие последовательности:

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *