Докажите что множество прямых на плоскости континуально
Перейти к содержимому

Докажите что множество прямых на плоскости континуально

  • автор:

2.2. Множества мощности континуум

Рассмотрим одну из возможных процедур, позволяющую получать множества с мощностью, превышающей некоторую исходную.

Определение. Множеством всех подмножеств или булеаном множества М называют множество, состоящее из всех подмножеств М. Обозначают его через [M].

У конечных множеств М мощность [М] равна 2  М. Поэтому для множества всех подмножеств (булеана) также применяют обозначение 2 М .

Пример 3. М = N = . В [М] войдут:

а) нулевой элемент ;

б) все натуральные числа поодиночке;

в) все возможные их сочетания по 2, 3, 4 и т. д. (конечной длины);

г) все возможные сочетания натуральных чисел счетной длины.

Доказательство. Для конечных множеств утверждение очевидно, т.к. при n  1 выполняется условие n 2 n .

Рассмотрим бесконечные множества. Так как М  [М], то всегдаM[М]. Докажем утверждение теоремы от противного. Допустим,M=[М]. По определению эквивалентности множеств это означает, что существует взаимно однозначное отображение f:M[М], которое каждому элементу аМ ставит в соответствие некоторое подмножество А  [М].

Анализируя все элементы аМ и их образы f(а) = А  [М], строим вспомогательное множество Х следующим образом: если а не входит в свой образ, аf(а), то а включается в Х.

Множество Х  [М], поскольку [М] содержит все возможные подмножества М. Так как f — взаимно однозначное отображение, то для Х должен существовать элемент хМ, такой, что f 1 : Хх, f(х) = Х.

Для элемента х есть только две возможности: a) хX, б) хХ. Допустим, верно а). Так как х содержится в своем образе, то он не должен входить в X, хХ. В случае б) также получаем противоречие, поскольку х по алгоритму должен быть включён в Х. Полученное противоречие показывает, что f 1 на множестве Х не определено, следовательно, взаимно однозначное отображение f: M  [М] не существует и M[М]. Следовательно, M<[М].

1. Мощности бесконечных множеств так же, как и конечных, могут различаться.

2. Множеств с максимально возможной мощностью не существует, поскольку для любого множества М всегда можно рассмотреть множество его подмножеств [М]. В теории множеств доказана теорема Цермело, которая утверждает, что для произвольных множеств А и В всегда есть только три возможности: а) АВ; б) А>В; в) А = В. Отсюда следует, что несравнимых по мощности множеств не существует.

Определение. Множествами мощности континуум называют множества, эквивалентные множеству вещественных чисел на отрезке [0,1]. Обозначается данный вид мощности С либо .

Можно показать путем построения соответствующего взаимно однозначного отображения, что между мощностями счетного множества и множества мощности континуум существует следующая связь: [N] = 2 N = C.

В отличие от счётных, множества мощности континуум нельзя упорядочить. Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] является как бы эталоном для других множеств мощности континуум, с которым их сравнивают путём построения взаимно однозначных отображений. Г.Кантором дано прямое доказательство несчетности данного множества с помощью диагональной процедуры.

Теорема 2.5 (Г.Кантор). Множество вещественных чисел на отрезке [0;1] несчетно.

Доказательство. Любое из этих чисел можно задать в виде конечной либо бесконечной десятичной дроби α=01α2α3… , где 0 ≤ αi ≤ 9. Представим каждую конечную дробь α=01α2α3… αk в бесконечной форме: α=0, 01α2α3…(αk-1)99…. Для числа 1 получаем: 1 = 0,99… .

Допустим, рассматриваемое множество счетно. При этом все вещественные числа на отрезке [0; 1] могут быть упорядочены в виде счетного списка, в который каждое из них входит ровно один раз и представлено бесконечной последовательностью десятичных знаков:

Построим бесконечную дробь γ=0,γ1γ2γ3… по следующему правилу: еcли βii=1, то γi = 2, а если βii≠1, то γi = 1. Из алгоритма построения следует, что дробь γ не совпадает ни с одним из чисел βi, поскольку γi βii . Следовательно, вещественное число γ, принадлежащее отрезку [0; 1], не содержится в списке. Получаем противоречие с допущением о возможности упорядочения всех вещественных чисел из данного отрезка.

Пример 4. Найти мощность множества R вещественных чисел на всей числовой оси (–;).

Решение. Очевидно,R  С, поскольку отрезок [0;1]  R. Докажем строгое равенство R= С путем построения взаимно однозначного отображения f множества А = [0;1] на R. С помощью одних линейных отображений невозможно взаимно однозначно отобразить конечный отрезок на бесконечную область. Данным свойством обладает тригонометрическая функция у = tg(х). Но она действует на отрезке [–/2; +/2], поэтому вначале необходимо взаимно однозначно отобразить отрезок [0;1] (множество А) на отрезок [–/2; +/2] (который обозначим множеством В), а затем множество В взаимно однозначно отобразить на R.

Первая задача может быть решена с помощью линейного отображения. Поскольку оно имеет два неизвестных коэффициента (С0 1), то их можно найти, подставив в уравнение связи b = С0 a + С1 две пары значений из множеств А и В, которые должны взаимно однозначно отображаться друг в друга. Если взять в качестве таких пар минимальные и максимальные значения на отрезках (0  –/2; 1 + /2), то множества точек, лежащие между ними, взаимно однозначно отобразятся друг на друга и задача будет выполнена. Подставляя выделенные пары в уравнение связи, получим систему двух уравнений:

Решая систему (например, методом исключения), получим:

Взаимно однозначное отображение множества А на В (обозначим его g: АВ) примет вид: aA, g(а) =а – /2 = bB.

Для взаимно однозначного отображения множества В на R (обозначим его h: ВR) используем функцию tg: bB, h(b) = = tg(b) = rR.

Итоговое отображение f: AR представим в виде композиции f = h g. Так как h и g взаимно однозначны, то и f по свойству композиций будет взаимно однозначным. Подставляя уравнение b(а) в зависимость r(b), найдем уравнение для отображения f, связывающее элементы а с элементами rR: r = tg (a /2).

Из факта построения взаимно однозначного отображения f:A R по определению следует эквивалентность множеств A и R. Отсюда получим: R = A = С.

С точки зрения мощности, множество всех точек, лежащих внутри и на границе квадрата [0;1]  [0;1], эквивалентно мощности всех точек на отрезке [0;1].

Теорема 2.6 (Г.Кантор). Множество всех точек декартова квадрата [0;1]  [0;1] имеет мощность континуум.

Доказательство. Построим взаимно однозначное отображение всех точек из квадрата [0;1]  [0;1] на множество вещественных точек отрезка [0;1].

Как и при доказательстве Теоремы 2.5, каждое из вещественных чисел, задающих координаты точек квадрата [0;1]  [0;1] или отрезка [0;1], представим в виде бесконечной десятичной дроби α = 0, α1 α2 α3…, где 0 ≤ αi 9. Все конечные дроби α = 0, α1 α2 α3 … αk для единообразия задаем в эквивалентной бесконечной форме: α = 0, α1 α2 α3 …(αk-1)99…. В том числе: 1 = 0,99… .

При выбранном способе представления каждой точке отрезка соответствует одна бесконечная десятичная дробь х = 0, х1 х2 х3…, задающая ее координату на отрезке. Каждой точке квадрата — две дроби х = 0, х1 х2 х3 … и у = 0, у1 у2 у3…, которые равны ее декартовым координатам по осям.

Искомое взаимно однозначное отображение строим следующим образом. Каждой бесконечной десятичной дроби х = 0, х1 х2 х3 …, задающей координату точки на отрезке [0;1], ставим в соответствие две дроби х´ = 0, х1´ х2´ х3´ и у´= 0, у1´ у2´ у3´, которые однозначно задают точку квадрата [0;1]  [0;1], по следующему правилу:

Отображение является однозначным, имеет обратное отображение (х´,у´)х, которое также однозначно. Следовательно, оно является взаимно однозначным и  [0;1]  [0;1] = С, ч.т.д.

Аналогично можно доказать мощность континуум для всех точек куба [0;1] 3 = [0;1]  [0;1]  [0;1] и других более высоких декартовых степеней [0;1] n множества [0;1].

Полученный результат был удивителен для всех математиков, в том числе — для самого Г.Кантора, поскольку он входил в противоречие с понятием пространственной размерности объектов. Однако построенное отображение не является непрерывным в обе стороны, что является в математике достаточным условием для сохранения размерности.

Пример 5. Найти мощность множества R 2 точек на декартовой плоскости.

Решение. Используя отображение вида r = tg (a — /2) из Примера 4, можно взаимно однозначно отобразить все точки декартовой плоскости на декартов квадрат [0;1]  [0;1], мощность которого, как доказано в Теореме 2.6, равна континууму. Следовательно,  R 2  = С.

Замечание. Так как процесс порождения множеств с большей мощностью бесконечен, то рассмотрев множество [А] всех подмножеств континуального множества А, получим множество 2 А , мощности большей, чем континуум:[А] = 2 C > С. Мощность 2 C имеет, в частности, множество всех функций, определённых на R .

Применение теоремы Кантора-Бернштейна значительно упрощает доказательство эквивалентности множеств мощности континуум одинаковой размерности. Для этого проще всего воспользоваться масштабным изменением размеров объектов, которое можно выполнить линейными преобразованиями с ненулевыми линейными коэффициентами, задающими взаимно однозначные отображения.

Пример 6. Найти мощность множества A точек, принадлежащих кругу радиуса r = 0,5 с центром в точке (1;1) на декартовой плоскости.

Решение. Докажем эквивалентность А множеству точек квадрата [0;1]  [0;1] (множество В, рис.2.4).

1. Вначале докажем эквивалентность А некоторому подмножеству В. Используя взаимно однозначное отображение х = 1 · х — 0,5; у = 1·у — 0,5, отобразим круг А на круг А, расположенный внутри В. Отсюда следует: A =A , A  B.

2. Докажем, что В эквивалентно подмножеству А. При помощи взаимно однозначного отображения х = 0,5·х + 0,75; у = 0,5·у + 0,75, квадрат В отобразим на квадрат меньшего размера В, расположенный внутри круга A. Отсюда следует: В = В , В  А.

По теореме Кантора-Бернштейна из 1 и 2 следует: А = В. Отсюда с учетом результатов Теоремы 2.6 получим: A = С.

1. Найти мощность:

а) всех вещественных чисел в интервале [5;10];

б) множества вещественных чисел (–; – r]  (r; +), где r — некоторое положительное вещественное число;

в) множества вещественных чисел в объединении отрезков вида [2i; 2i+1), где i Z;

г) множества вещественных чисел (; 0] (1;+);

д) интервалов (r1; r 2), где r1 и r 2 рациональные числа;

е) множества всех точек на окружности радиуса 1 с центром в точке (0; 0);

ж) множества точек на параболе у = (х–2) 2 при   х+ .

2. Построить пример взаимно однозначного отображения:

а) множества N10 целых чисел, кратных 10, на множество N2 четных чисел;

б) множества вещественных чисел [0;4] на множество вещественных чисел [0;4]  (7;10];

в) множества всех окружностей на плоскости на множество всех квадратов на плоскости со сторонами, параллельными осям координат.

3. Построить взаимно однозначное отображение отрезка [0;1] на положительную полуось [0; ).

4. Существует ли взаимно однозначное отображение:

а) множества всех вещественных чисел R на множество всех целых чисел Z?

б) множества всех рациональных вещественных чисел на множество всех целых чисел?

5. Привести примеры счетных подмножеств на множествах:

а) всех прямых на плоскости;

б) шаров в пространстве;

в) векторов в n-мерном пространстве.

6. Будут ли иметь одинаковую мощность:

а) множества N3 и N4 всех натуральных чисел, кратных соответственно 3 и 4?

б) множества N 3 3 и N 3 4 всех трехзначных в десятичной системе счисления натуральных чисел, кратных 3 и 4?

7. Доказать с применением теоремы Кантора-Бернштейна эквивалентность множеств точек:

а) шара c радиусом R>0 и соответствующей ему сферы,

б) 3-мерного пространства и прямой линии в нем.

Научный форум dxdy

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе «Помогите решить/разобраться (М)».

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву , правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.

Про счетные множества

На страницу Пред. 1 , 2 , 3 , 4 След.

08.10.2006, 22:55

первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).

3)Можно решить так: разбейте всю плоскость на квадраты, имеющие
сторону а. Затем подумайте: сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)

08.10.2006, 23:49
Цитата:
первые две задачи Вам уже давно решили(в прочем как и все остальные, за исключением 2-х).

Что-то я не помню,чтобы я их решала )
По-моему я еще не решила задачи:
Цитата:

$R^n$

2)Доказать,что мн-во точек ,имеет мощность континуума.

5)Доказать,что объединение континуума множеств мощности континуума имеет мощность континуума.
6)Доказать,что мн-во всех точек любого интервала (a,b) имеет мощность континуума.
8)Доказать,что проивольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.
9)Доказать,что произвольное мн-во точек на плоскости,расстояние между любыми двумя из которых превосходит фиксированное число a>0,не более чем счетно.
10)Доказать,что любая последовательность имеет континуум подпоследовательностей.
11)Доказать,что мн-во всех последовательностей непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.
12)Доказать,что мн-во всех интервалов на прямой R имеет мощность континуума.
13)Доказать,что мн-во всех непрерывных на [a,b] функций имеет мощность континуума.

17)Д-ть,что мн-во всех замкнутых подмножеств прямой R имеет мощность континуума.
18)Д-ть,что мн-во всех счетных подмн-в мн-ва мощности континуума имеет мощность континуума.
19)Д-ть,что мн-во всех конечных подмн-в счетного мн-ва счетно.

21)Д-ть,что произвольный набор попарно непересекающихся интервалов не более чем счетен.

Добавлено спустя 6 минут 37 секунд:

Цитата:
сколько точек может находится в
одном квадрате?(там не обязательно будет находится одна точка)

Естественно.Их там может быть сколько угодно!

Добавлено спустя 16 минут 26 секунд:

Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.
Про 11:надо д-ть что одна последовательность ф-ий имеет мощность континуума.А потом воспользовать тем,что объединение континуального числа мн-в мощности континуума есть мн-во мощности континуума.
а больше я не знаю.Подскажите Woland !please.

09.10.2006, 07:03

Супермодератор

Ox. Тяжело с Вами.

Задача 20. Что такое интервал с рациональными концами? Это пара $(a,b)$двух рациональных чисел, из которых $b>a$» />. Вы вроде как умеете доказывать, что множество всех пар (равно как и троек, четверок и т.д.) рациональных чисел счетно.</p>
<p>Задача 6 стандартная. Достаточно рассмотреть один какой-нибудь интервал, так как все интервалы переводятся друг в друга простым преобразованием и, следовательно, равномощны. Берем интервал <img decoding=однозначно переводит его в $R$. Отсюда они равномощны.

Задача 2 проще, чем задача со счетной последовательностью вещественных чисел, так как тут чисел всего $n$. Пользуясь задачей 6, интерпретируем каждое $R$как интервал $[0,1)$. Записываем $n$чисел как бесконечные десятичные дроби. Имеем $n$дробей. Составляем из них одну: сначала записываем подряд $n$первых цифр, затем $n$вторых и т.д. На похожей идее решается и задача со счетной последовательностью.

Для континуума всех непрерывных функций пользуемся тем, что непрерывная функция однозначно задается своими значениями в рациональных точках. Таким образом, сводим задачу к счетной последовательности вещественных чисел.

Для первой задачи (монотонные функции) делаем похожую вещь, только нужно явно задать значения функции не только в рациональных точках, но и в точках разрыва. Фишка в том, что для монотонных функций этих точек не более чем счетное число.

Цитата:

Про 13 наверно можно рассуждать как Вы рассуждали раньше: f(x)-непрерывна,f(x)=f(x)+c тож непрерывна,с=[0,1]-мн-во мощности континуума.Значит,и функции мощности континуума.

Плохо и неверно. Так можно «доказать» и то, что всех возможных функций континуум (если f — функция, то f+c — тоже функция. )

Я не вижу от автора самостоятельных продвижений. Тут уже накидано много разных как готовых решений, так и сырых идей, которые нужно доработать. Более того, у меня совершенно нет ощущения, что приведенные здесь решения поняты автором темы верно. Просьба написать подробно решения хотя бы нескольких задач, которые Вам уже вроде как понятны, не пропуская никаких логических переходов. Тогда по аналогии, глядишь, может быть и другие задачи решатся.

Научный форум dxdy

$B$

Короче, доказательство того, что не содержит изолированных точек, некорректно.

Согласен, постараюсь быть аккуратней.

lofar писал(а):
neo66 писал(а):

$B$

Тогда — замкнуто и не имеет изолированных точек.

$B$

Замкнутость очевидна. Не могли бы вы пояснить почему не содержит изолированных точек?

1. Для любого несчетного подмножества $A \subseteq \mathbb<R>$» /> существует точка <img decoding=, любая окрестность которой содержит несчетное количество точек этого множества.

3. Пусть $b$— изолированная точка множества $B$. Это значит, что в некоторой окрестности $(b-\epsilon,b+\epsilon)$нет других точек из $B$. Тогда в отрезках $[b - \epsilon,b - \frac \epsilon 2]$и $[b+\frac \epsilon 2,b+\epsilon]$находится не более, чем счетное количество точек множества $A$(Если бы это было не так, то это противоречило бы пункту 2.). Ну, и так далее. Получим, что окрестность $(b-\epsilon,b+\epsilon)$разбивается на счетное число подмножеств, в каждом из которых находится не более, чем счетное количество точек множества $A$. А значит в окрестности $(b-\epsilon,b+\epsilon)$находится не более, чем счетное количество точек множества $A$. Противоречие.

10.02.2008, 15:42

Теперь вроде бы всё правильно.

Относительно второй задачи. Для тех, кто знаком с булевыми алгебрами, она выглядит вообще тривиально. Дело в том, что каждое счётное линейно упорядоченное множество является линейным базисом некоторой счётной булевой алгебры. Существует взаимно-однозначное соответствие между начальными сегментами линейного базиса и простыми идеалами (либо ультрафильтрами) алгебры. Если алгебра суператомна, то у неё счётное число простых идеалов (более того, в качестве линейного базиса может быть выбран некоторый счётный ординал). Если же алгебра не суператомна, то простых идеалов у неё континуум.

См. например, тут, это конспект спецкурса, который я несколько лет назад читал в НГУ. Ну и во многих других источниках эту теорию можно найти.

Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

10.02.2008, 15:47

Во второй части все правильно, а первую я знаю, как исправить. Отвечу чуть позже.

12.02.2008, 20:45

Пусть имеются 2 начальных сегмента A, B. Отрезком AB назовем все сегменты, содержащие A и лежащие в B.

Вспомогательное утверждение: пусть дан отрезок AB, содержащий несчетное число начальных сегментов. Тогда в нем можно выделить 2 непересекающихся подотрезка AU и VB, также содержащих несчетное число начальных сегментов.

Назовем начальный сегмент главным, если он состоит из всех элементов носителя L, не превосходящих некоторого x из L.

Рассмотрим все главные начальные сегменты T из отрезка AB такие, что существует не более чем счетное число содержащихся в них начальных сегментов из AB (т.е. в отрезке AT не более чем счетное число начальных сегментов). Пусть их объединение равно M. Тогда: 1. В отрезке AM не более чем счетное число начальных сегментов (счетное объединение счетных множеств счетно) 2. Для любого начального сегмента M’, содержащего M и не равного M число начальных сегментов из AM’ несчетно. Т.о., AM — максимальный по включению отрезок из не более чем счетного числа начальных сегментов. Аналогично, можно рассмотреть отрезок NB — тоже максимальный по включению из не более чем счетного числа начальных сегментов.

$U \subset V$

Первый случай: AM и NB не пересекаются. Тогда MN содержит несчетное число начальных сегментов. Выберем из них 2 — , отличных от M и N. U, V — искомые.

Второй случай: AM и NB пересекаются. Тогда AB = объединению отрезков AN, NM и MB, каждый из которых содержит счетное число начальных сегментов. Противоречие с тем, что отрезок AB содержит несчетное число начальных сегментов.

Дальше этого места все понятно?

Добавлено спустя 7 минут 25 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):
Kid Kool писал(а):
Задача доказана.

По русски так не говорят. Говорят «утверждение доказано» или «задача решена»

Если задача оформлена в виде утверждения, которое необходимо доказать, то не вижу никакой некорректности в высказывании «задача доказана».

02.06.2008, 13:33

Заслуженный участник

Профессор Снэйп писал(а):
Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

1) А не могли бы вы привести это доказательство или дать ссылку?

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что если линейный порядок (более точно, его носитель) счётен, то множество его начальных сегментов либо счётно, либо континуально.

2) А верно ли «обратное» утверждение:
«если множество начальных сегментов линейного порядка континуально, то его носитель счетен»

3) Верно ли, что из того, что множество простых идеалов безатомного Булева кольца имеет мощность континуум следует, что оно счетно?

02.06.2008, 14:07
neo66 писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):
Впрочем, вторую задачу несложно решить, ничего не зная о булевых алгебрах.

1) А не могли бы вы привести это доказательство или дать ссылку?

Профессор Снэйп писал(а):

Доказать, что если линейный порядок (более точно, его носитель) счётен, то множество его начальных сегментов либо счётно, либо континуально.

Дам идею. Докажите, что если количество начальных сегментов счётного линейного порядка более чем счётно, то в этом порядке содержится плотный подпорядок (то есть подпорядок, изоморфный естественному порядку на рациональных числах). Ну а там уже и до континуума недалеко

neo66 писал(а):

2) А верно ли «обратное» утверждение:
«если множество начальных сегментов линейного порядка континуально, то его носитель счетен»

Конечно нет. Рассмотрите вполне упорядоченное множество континуальной мощности. Или естественный порядок на действительных числах.

На самом деле придумать континуальный линейный порядок, у которого больше континуума начальных сегментов — гораздо более нетривиальная задача. Я вот даже не уверен в том, что он вообще существует.

neo66 писал(а):

3) Верно ли, что из того, что множество простых идеалов безатомного Булева кольца имеет мощность континуум следует, что оно счетно?

Тоже неверно. Возьмём естественный порядок на действительных числах и построим на нём, как на базисе, булеву алгебру. Ну или кольцо, если Вам кольца больше нравятся

03.06.2008, 18:35

Заслуженный участник

Спасибо,успокоили, а то мучился ужасно.
Кстати, еще вопрос:
Если булева алгебра порождается естественным линейным порядком на $\mathbb<Q>\cap [0,1]$» />, то соответствующее ей Стоуновское пространство — это Канторов дисконтинуум. <br />А какое Стоуновское пространство получится, если взять <img decoding=?

03.06.2008, 20:19
neo66 писал(а):

$\mathbb<Q></p>
<p>Спасибо,успокоили, а то мучился ужасно. <br />Кстати, еще вопрос: <br />Если булева алгебра порождается естественным линейным порядком на \cap [0,1]$» />, то соответствующее ей Стоуновское пространство — это Канторов дисконтинуум.</p>
<p>Получится компактное хаусдорфово вполне незвязное топологическое пространство без изолированных точек. Если не ошибаюсь, то это и есть канторовский дисконтинуум. Хотя не уверен. Дело в том, что я очень плохо знаю про топологические пространства. Булевыми алгебрами я занимался профессионально в магистратуре/аспирантуре НГУ (пока не переключился на нумерации) и даже несколько статей написал (в частности, параграф 2.6 этой книги — моя дипломная работа на шестом курсе ) Но для сибирской школы характерен алгебраический подход, а не топологический. Вот я в нём и силён. И, к сожалению, почти только в нём.</p>
<p>В частности, оригинальную статью Кетонена с его классификацией типов изоморфизма счётных булевых алгебр я так толком и не осилил именно из-за того, что он работал со стоуновскими пространствами. Саму классификацию, конечно, знаю, и даже сам излагал её студентам на спецкурсе, но в рамках алгебраического подхода.</p>
<p>Хотя, конечно, то, что переход к фактору по идеалу Фреше в алгебре равносилен взятию производной Кантора-Бендиксона у стоуновского пространства, худо-бедно осознал.</p>
<p><b>neo66</b> писал(а):</p>
<p><img decoding=

А какое Стоуновское пространство получится, если взять ?

Ну я уже сказал, что в топологии не силён. Хотя можно помыслить.

Стоуновское пространство состоит из простых идеалов. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между простыми идеалами и начальными сегментами порождающего алгебру линейного порядка верна по любому. Ну а в $[0,1]$начальные сегменты бывают только двух видов: $\< x < r \>$» /> и <img decoding=. Как-то отсюда и надо плясать. Не знаю, я вот не могу так сходу назвать несколько свойств, которые характеризовали бы нужное нам пространство с точностью до гомеоморфизма. То, что оно континуально, хаусдорфово, компактно и имеет базу, состоящую из открыто-замкнутых множеств (вполне несвязно) — это понятно, стоуновские пространства всегда такие. Буду ложиться спать — помыслю, какие там есть изолированные точки.

Ну Вы, блин, всю душу разбередили. Я уже лет 6 как про эти темы прочно забыл, а тут вдруг кому-то интересно!

Добавлено спустя 27 минут:

Кстати, вот по ходу размышлений вопрос возник. Адресую его присутствующим здесь знатокам топологии.

Как строится канторовский дисконтинуум? Из отрезка $[0,1]$вырезаем треть — открытый интервал $(1/3,2/3)$посередине, остаётся $[0,1/3] \cup [2/3,1]$, в каждом из оставшихся отрезочков вырезаем открытый интервал — среднюю треть и т. д. Канторовский дисконтинуум $D$— это то, что получается в пределе.

Для бесконечной троичной дроби $r=0.a_1a_2\ldots$(считаем, что единица — это ноль и два в периоде) можно сказать, что $r \in D$тогда и только тогда, когда либо все $a_i$-ые не равны '$, либо в последовательности $a_i$-ых встречается ровно одна единица, после которой идут только нули.

Пусть $D_1$— это все такие точки $r$из $D$, для которых в последовательности $r=0.a_1a_2\ldots$начиная с некоторого момента идут одни нули (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$(их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$(коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

04.06.2008, 00:24

Заслуженный участник

Профессор Снэйп писал(а):

Получится компактное хаусдорфово вполне незвязное топологическое пространство без изолированных точек. Если не ошибаюсь, то это и есть канторовский дисконтинуум. Хотя не уверен.

Если ещё добавить, что вес счётный, то он самый.

Профессор Снэйп писал(а):
neo66 писал(а):

$[0,1]$

А какое Стоуновское пространство получится, если взять ?

Ну я уже сказал, что в топологии не силён. Хотя можно помыслить.

Стоуновское пространство состоит из простых идеалов. Теорема о взаимно-однозначном соответствии между простыми идеалами и начальными сегментами порождающего алгебру линейного порядка верна по любому. Ну а в $[0,1]$начальные сегменты бывают только двух видов: $\< x < r \>$» /> и <img decoding=. Как-то отсюда и надо плясать.

Похоже, «две стрелки». Может быть, ещё с двумя изолированными точками, если пустой начальный сегмент и начальный сегмент, совпадающий со всем отрезком, тоже считаются простыми идеалами (я, наоборот, в алгебре не силён). Описать можно так.
Пусть $X=\<0\>\times(0,1]\cup\\times[0,1)$» />. Базу топологии образуют множества вида <img decoding=\leqslant a\leqslant a\leqslant a (нарисуйте на плоскости, всё будет понятно). Это линейно упорядоченное пространство. (П.С.Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах. «Наука», Москва, 1971. Глава V, § 1, пункт 3.)

Профессор Снэйп писал(а):
Буду ложиться спать — помыслю, какие там есть изолированные точки.

Помыслите. Вдруг я ошибаюсь.

Профессор Снэйп писал(а):

. (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$(их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$(коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

Если отвлечься от конкретного вложения $D$в отрезок $[0,1]$и рассматривать топологическое пространство $D$само по себе, то оно топологически однородно и, более того, допускает структуру топологической группы (например, $\mathbb Z_2^<\aleph_0$).

04.06.2008, 05:53
Someone писал(а):

Похоже, «две стрелки». Может быть, ещё с двумя изолированными точками, если пустой начальный сегмент и начальный сегмент, совпадающий со всем отрезком, тоже считаются простыми идеалами (я, наоборот, в алгебре не силён). Описать можно так.
Пусть $X=\<0\>\times(0,1]\cup\\times[0,1)$» />. Базу топологии образуют множества вида <img decoding=\leqslant a\leqslant a\leqslant a (нарисуйте на плоскости, всё будет понятно). Это линейно упорядоченное пространство. (П.С.Александров, П.С.Урысон. Мемуар о компактных топологических пространствах. «Наука», Москва, 1971. Глава V, § 1, пункт 3.)

Нет, там всё не так. Сами начальные сегменты — это не есть простые идеалы, идеалы устроены гораздо сложнее (ниже после синей надписи я дал все необходимые определения). Просто есть биекция между простыми идеалами и собственными начальными сегментами

Someone писал(а):
Профессор Снэйп писал(а):

. (то есть точки, принадлежащии границам интервалов, вырезаемых при построении $D$). Мой вопрос такой: отличаются ли топологические свойства точек из $D_1$(их там счётное число) от свойств остальных точек, принадлежащих $D$(коих там целый континуум)? Как-то у них окрестности в $D$может по другому устроены? Или ещё что-нибудь?

Если отвлечься от конкретного вложения $D$в отрезок $[0,1]$и рассматривать топологическое пространство $D$само по себе, то оно топологически однородно и, более того, допускает структуру топологической группы (например, $\mathbb Z_2^<\aleph_0$).

То есть Вы хотите сказать, что для любых $x,y \in D$существует гомеоморфизм $f$пространства $D$на себя, такой что $f(x)=y$? Или Вашу «однородность» надо понимать в каком-то другом смысле?

$\mathbb Z_2^<\aleph_0></p>
<p>А как определяется топологическая группа $» />?</p>
<p>Добавлено спустя 2 часа 9 минут 15 секунд:</p>
<p>Так вот, значит, насчёт алгебры, порождённой отрезком <img decoding=. Будем обозначать её через $\mathfrak<B>$» />.</p>
<p>Устроена она так. Берутся все полуинтервалы вида <img decoding=для $a \in [0,1]$и в $\mathcal<P>([0,1))$» /> рассматривается подалгебра, порождённая этими полуинтервалами. Это и будет <img decoding=принадлежит $\mathfrak<B>$» /> тогда и только тогда, когда найдутся <img decoding= \leqslant a_1 < \ldots < a_\leqslant 1$" />, такие что $X = [a_1,a_2) \cup \ldots \cup [a_<2k-1>,a_)$» /> (при <img decoding=считаем $X = \varnothing$).

Пусть $\alpha \subset [0,1]$— собственный (то есть не равный $\varnothing$и $[0,1]$) начальный сегмент. Через $p(\alpha)$обозначим соответствующий ему простой идеал в $\mathfrak<B>$» />. Справедливо следующее утверждение: для <img decoding=

Элементами (точками) стоуновского пространства $S$будут все простые идеалы $p(\alpha)$, где $\alpha$пробегает множество всех непустых собственных начальных сегментов отрезка $[0,1]$. Для каждого $p \in S$база фильтра окрестностей $p$— это

$ \< \< q \in S : X \not\in q \></p>
<p> : X \not\in p \> $» /></p>
<p>Все элементы базы — открытые и компактные подмножества <img decoding=. Более того, подмножество $S$открыто и компактно тогда и только тогда, когда оно является элементом базы фильтра окрестностей для некоторой точки $p \in S$(то есть имеет вид $U_X = \< q \in S : X \not\in q \>$» /> для некоторого <img decoding=нет изолированных точек. Надо показать, что любое множество вида $U_X$, где $X \in \mathfrak<B>$» />, не одноэлементно. Зафиксируем <img decoding=, то $U_X = \varnothing$— не одноэлементно. Пусть $X \neq \varnothing$. Тогда найдутся $a < b$из отрезка $[0,1]$, такие что $[a,b) \subseteq X$. Возьмём $\alpha = [0,a]$и $\beta = [0,b)$. Тогда $p(\alpha) \neq p(\beta)$. Однако $p(\alpha), p(\beta) \in U_X$, что доказывает нужный нам факт.

Таким образом, континуально, хаусдорфово, вполне несвязно и без изолированных точек. Однако оно не гомеоморфно канторовскому дисконтинууму, поскольку канторовский дисконтинуум — это стоуновское пространство некоторой счётной алгебры, а алгебра однозначно (с точностью до изоморфизма) восстанавливается по своему стоуновскому пространству. Вероятно, всё дело в этом самом «весе», о котором упоминал Someone : для канторовского дисконтинуума он счётен, а для нашего , вероятно, несчётен.

Someone , скажите, пожалуйста, что такое этот самый «вес». Или дайте хорошую ссылку

Доказательство континуальности

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Доказательство теоремы
Здравствуйте. Объясните, пожалуйста, подробно доказательство следующей теоремы.

Доказательство тавтологии
Выясните, справедливы ли следующие утверждения (если утверждение несправедливо, то постарайтесь.

Доказательство от противного
Доказать что (A \ (A \ B)) \ (A пересекает B) = пустое множество,методом от противного?

Доказательство выражения
Дорогие друзья. Помогите,пожалуйста,доказать это выражение: А->В, В->С |— A->С Я вот думаю.

Эксперт по математике/физике

4166 / 3038 / 914
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,182

Лучший ответ

Сообщение было отмечено danyamatv как решение

Решение

ЦитатаСообщение от danyamatv Посмотреть сообщение

континуально

Никаких проблем с этой буквой. Возьмем, например, прямую, образующую угол 30 градусов с осью х-ов, и каждой точке на этой прямой поставим в соответствие буку L, вершина угла которой совпадает с этой точкой.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *