Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке
Перейти к содержимому

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

  • автор:

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

а) Пусть A , B , C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что (,) + (,) + (,) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Решение

а) Выразим все входящие в указанную формулу векторы через , и , т. е. запишем = + + , = — — и = + . После сокращения получим требуемое.
б) Пусть D — точка пересечения высот, проведенных из вершин A и C треугольника ABC . Тогда в доказанной в задаче а) формуле первые два слагаемых нулевые, поэтому последнее слагаемое тоже нулевое, т. е. BD AC .

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 13
Название Векторы
Тема Векторы
параграф
Номер 2
Название Скалярное произведение. Соотношения
Тема Скалярное произведение. Соотношения
задача
Номер 13.012

Проект осуществляется при поддержке и .

Докажите что высоты треугольника пересекаются в одной точке

а) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
б) Пусть H – точка пересечения высот треугольника ABC , R – радиус описанной окружности. Докажите, что AH ² + BC ² = 4 R ² и AH = BC |ctg α|.

Решение

Первый способ. а) Проведём через вершины треугольника ABC прямые, параллельные его противоположным сторонам. В результате получим треугольник A 1 B 1 C 1 , серединами сторон которого являются точки A, B и C . Высоты треугольника ABC являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому центр описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 является точкой пересечения высот треугольника ABC .

Второй способ. Если треугольник остроугольный, то его высоты лежат на биссектрисах ортотреугольника (см. задачу 52866) и поэтому пересекаются в одной точке.
Если же треугольник тупоугольный, то аналогично доказывается, что одна его высота лежит на биссектрисе одного из углов ортотреугольника, а две другие – на биссектрисах внешних углов ортотреугольника.
Для прямоугольного треугольника утверждение очевидно.

б) Точка H является центром описанной окружности треугольника A 1 B 1 C 1 , поэтому 4 R ² = B 1 H ² = B 1 A ² + AH ² = BC ² + AH ². Следовательно,

Замечания

Другие доказательства п.а) см. в статье В.В. Прасолова «Несколько доказательств теоремы о высотах треугольника» («Математика в школе», 1988, №1, с.72).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 5
Название Треугольники
параграф
Номер 6
Название Разные задачи
Тема Треугольники (прочее)
задача
Номер 05.045

Теорема о пересечении высот треугольника

Дано: АВС, АА1, ВВ1 и СС1 — прямые, содержащие высоты треугольника.

Доказать: АА1, ВВ1 и СС1 пересекаются в одной точке.

Доказательство:

Проведём через каждую вершину АВС прямую, параллельную противоположной стороне.

Получим А2В2С2. Точки А, В и С являются серединами сторон этого треугольника. Действительно, АВ = А2С и АВ = СВ2 как противоположные стороны параллелограммов АВА2С и АВСВ2, поэтому А2С = СВ2. Аналогично С2А = АВ2 и С2В = ВА2. Кроме того, как следует из построения, СС1А2В2, АА1В2С2 и ВВ1А2С2. Таким образом, прямые АА1, ВВ1 и СС1 являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника А2В2С2. Следовательно, они пересекаются в одной точке. Теорема доказана.

Замечательные точки треугольника : точка пересечения медиан, точка пересечения биссектрис, точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам и точка пересечения высот (или их продолжений).

Пересечение высот треугольника

Существует теорема о том, что высоты треугольника или их продолжения пересекаются в одной точке. Доказать эту теорему можно следующим образом.

Пусть дан треугольник ABC, в нем проведены высоты AH, BI, CJ. Следует доказать, что три высоты пересекаются в одной некой точке O.

Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные сторонам, которым вершины противоположны. Эти прямые пересекутся (так как между собой они параллельными быть не могут), образуя другой треугольник. Обозначим его как DEF. Пусть AB || FE, BC || DF, AC || DE.

Так как прямые AH, BI, CJ перпендикулярны сторонам треугольника ABC, то они будут перпендикулярны и прямым, параллельных сторонам данного треугольника. То есть AH ⊥ DF, BI ⊥ DE, CJ ⊥ FE.

Рассмотрим четырехугольник ABEC. У него AB || EC, так как EC это отрезок, лежащий на прямой FE, а FE || AB по построению. Аналогично AC || BE. То есть противоположные стороны рассматриваемого четырехугольника параллельны. Это значит, что он параллелограмм, так как его определяет именно параллельность противоположных сторон.

Теперь рассмотрим четырехугольник ADBC. У него AD || BC и AC || DB. Значит, он тоже параллелограмм.

Одним из свойств параллелограмма является равенство его противоположных сторон. Из параллелограмма ABEC заключаем, что AC = BE. Из параллелограмма ADBC заключаем, что AC = DB. Следовательно, AC = BE = DB, то есть BE = DB. Таким образом, сторона DE разбита на два равных отрезка прямой BI.

Прямая BI перпендикулярна стороне DE и делит ее пополам, значит, BI является срединным перпендикуляром к DE.

Аналогично доказывается, что AH срединный перпендикуляр к DF, а CJ — к FE. (В первом случае рассматриваются четырехугольники ABCF и ADBC, во втором — ABCF и ABEC.)

Как известно, срединные перпендикуляры треугольника пересекаются в одной точке. (Доказывается это так. Два срединных перпендикуляра обязательно пересекутся в одной точке. Пусть это будут в данном случае CO и AO. Любая точка на срединном перпендикуляре равноудалена от концов отрезка, к которому он проведен. Значит, ∆FOE — равнобедренный, т. е. FO = OE. Однако ∆DOF также равнобедренный и FO = OD. Значит, FO = OE = OD. Точка O равноудалена от всех вершин треугольника. Тогда она лежит и на третьем перпендикуляре, а значит, он проходи через эту точку.)

Срединными перпендикулярами ∆DEF являются отрезки AH, BI, CJ. Однако они в то же время являются высотами треугольника ABC. Значит, высоты треугольника пересекаются в одной точке.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *