Когда можно делить уравнение
Перейти к содержимому

Когда можно делить уравнение

  • автор:

Однородные уравнения и неравенства

однородно-рациональное неравенство
однородно-тригонометрическое уравнения

Слагаемые, которые делают уравнения (неравенства) не однородными – подчеркнуты.

Решение однородных уравнений

Хотя однородные уравнения и выглядят «большими» и «страшными», решить их не сложнее, чем биквадратные. Надо знать лишь об одной «фишке»: если поделить однородное уравнение на одночлен (без коэффициента ), то потом можно легко сделать замену переменных.

Пример. Решить уравнение \(\sin⁡x=\sqrt\cos⁡x\).

Перед нами типичное однородно-тригонометрическое уравнение. Надо разделить уравнение на cos⁡x, но делить на число равное нулю нельзя, поэтому проверим, является ли \(\cos⁡x=0\) решением уравнения. Если \(\cos⁡x=0\), то \(\sin⁡x=±1\). Очевидно, что \(±1≠0\).

Теперь с чистой совестью поделим уравнение на \(\cos⁡x\)

Помогите! На что делить: sin или cos?Уравнение такое: sinx — cosx=0я помню что делить можно только на что-то одно.. но н

Уравнение такое:
sinx — cosx=0
я помню что делить можно только на что-то одно. .
но на что sin или cos?

Дополнен 10 лет назад
а почему нельзя на sin?
получится ctg x =1.
Лучший ответ

Можно делить как на cos, так и на sin. В первом случае получится tg x = 1, во втором будет ctg x = 1.
Те х, для которых sin x = 0 — это не корни уравнения, иначе бы, подставив sin x = 0 в уравнение, мы бы получили, что cos x = 0, но синус и косинус не могут быть одновременно равны нулю (хотя бы потому, что cos^2 x + sin^2 x всегда = 1, а не 0, как было бы в противном случае) . Если это не корни, т можно разделить на sin x уравнение и получить равносильное ему уравнение (потери корней не происходит, не происходит и приобретения посторонних корней) . Аналогично можно доказать, что уравнение можно разделить на sin x.

Обычно тут делят на cos x, потому что получается тангенс, а с ним в общем случае работать удобнее, чем с котангенсом. Но ни в коем случае не будет ошибкой разделить на sin x.

Остальные ответы
Дели на cos x.
Получится tg x=1

Помню.. . При такой памяти нужно проверять ЛЮБУЮ мысль. Понятно же, что делить нельзя, если ПОЛУЧЕННЫЙ корень обращает в нуль то, на что делили. В этом случае нам это не грозит. Пи/4 +- k*Пи — ни синус, ни косинус в нуль не обращаются.

Когда можно делить уравнение

Однородные уравнения

Примерами однородных тригонометрических уравнений могут служить уравнения:

sin х — cos х = 0,
sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0,
cos 2 х — sin х cos х = 0.

Это такие уравнения, все члены которых имеют одну и ту же общую степень относительно sin x и cos x. Например, все члены первого уравнения имеют общую степень 1, а все члены других двух уравнений — общую степень 2.

Решим уравнение sin х — cos х = 0. Для этого заметим, что в данном случае cos x не может быть равен нулю. Если бы было cos х = 0, то должно было бы быть и sin х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, в данном случае
cos х =/=
0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на cos 2 х. В результате получим tg x — 1 = 0, откуда

tg x = 1, х = π /4 + 2nπ

Аналогично решается и уравнение sin 2 х — 5 sin х cos х + 6 cos 2 х = 0. Разделив обе части этого уравнения на cos 2 х, получим:

tg 2 х — 5 tg х + 6 = 0; (tg x)1 = 2; (tg x)2 = 3.

x = arctg 2 + nπ х = arctg 3 + kπ.

Теперь решим уравнение cos 2 х — sin х cos х = 0.

Здесь уже равенство cos х = 0 возможно, поэтому делить обе части уравнения на
cos 2 х нельзя. Зато можно утверждать, что sin х =/= 0. В противном случае из уравнения вытекало бы, что cos х = 0. Но тогда не выполнялось бы тождество sin 2 х +cos 2 х = 1. Итак, sin х =/= 0. Поэтому обе части данного уравнения можно разделить на sin 2 х. В результате получим:

ctg 2 х — ctg х = 0,

откуда (ctg х)1 = 0; (ctg х)2 = 1. Соответственно этому получаются две группы корней:

х = π /2 + и х = π /4 +

Некоторые тригонометрические уравнения, не являясь однородными, легко сводятся к однородным.

Например, если в уравнении

sin х cos x = 0,5

представить 0,5 в виде 0,5 (sin 2 х +cos 2 х), то получится однородное уравнение
sin х cos x = 0,5 sin 2 х + 0,5 cos 2 х Это уравнение предлагаем учащимся решить самостоятельно.

Упражнения

Решить уравнения:

1). 3 sin x — \ / 3 cos x = 0.
2). 2 cos x — \ / 2 sin x = 0.
3). 3sin x + 5 cos x = 0.
4). sin 2 x — (1 + \ / 3 ) sin x cos x + \ / 3 cos 2 x = 0.
5). sin 2 x — 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0.
6). \ / 3 sin 2 x — 4 sin x cos x + \ / 3 cos 2 x = 0.
7). 2sin x — cos x sin x = 0.
8). \ / 3 cos x + cos x sin x = 0.
9). cos x sin x = 1 /\ / 3 cos 2 x.
10). cos 2 x — 3 cos x sin x + 1 = 0.
11). sin 2 x + 3 cos 2 x — 2 sin x cos x = 5 — \ / 3 / 2
12). sin x cos x = — 0,25.
13). sin x + cos x = \ / 2 .

Когда можно делить уравнение

ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАВЕНСТВ.

___________

РЕШЕНИЕ И СОСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1-Й СТЕПЕНИ

§ 4. Дополнительные замечания о решении уравнений.

Выше было сказано, что обе части уравнения можно умножать или делить на одно и то же количество. Говоря это, мы понимаем возможность этих действий в том смысле, что, производя их над данным уравнением, мы получаем новое уравнение, совместное с данным. Заметим теперь, что это указание верно только в том случае, когда множитель или делитель есть или явное количество, или хотя и неявное, но не содержит в себе той самой неизвестной буквы, которая входит в уравнение. Если дано выражение, содержащее то же неизвестное, как и в уравнении, то, вообще говоря, нельзя ни помножать уравнение на это выражение, ни делить на него. Поясним это на примерах:

Возьмем уравнение х = 2, которое очевидно имеет один только корень 2. Если мы умножим обе части его на х, то новое уравнение х 2 =2х не будет уже совместно с данным, потому что кроме прежнего корня 2, оно будет иметь еще корень 0, что обнаруживается и прямо из самаго уравнения, а также при решении полученного уравнения, если заменить его уравнением х 2 —2х=0 и написать последное в виде х(х—2)=0. Подобно этому, умножая данное уравнение х = 2 на выражение х—1, получаем новое уравнение
х 2 —2х=2х 2, совместное с уравнением (х—1)(х—2)=0 и имеющее два корня, прежний 2 и новый 1. Вообще при умножении уравнения на выражение, содержащее неизвестное, в это уравнение вводятся посторонние корни, а именно те, которые обращают множитель в нуль.

ІІонятно, наоборот, что если мы имеем, напр., уравнение х 2 =3х , корни которого суть 0 и 3 и сократим его на х, то полученное от этого сокращеиия уравнение не будет совместно с данным, потому что оно имеет только один корень 3. Подобно этому, имея уравнение (х2) 2 =2х—4, корни которого суть 2 и 4, и сократив обе части на х2, мы теряем корень 2 и получаем уравнение х2 = 2, имеющее только один корень 4. Вообще при со-кращении обеих частей уравнения на их общий множитель, содержащий неизвестное, теряются корни уравнения и именно те, которые обращают делитель в нуль.

В курсе алгебры доказывается, что уравнение можно умножать на множитель, содержащий неизвестное, только в том случае, когда этот множитель входит в знаменатель дроби, получившейся от соединения всех дробей, входящих в уравнение, в одну дробь, и после окончательного сокращения этой последней.Так, если уравнение имеет вид А+ В /С=0, где А есть совокупность всех целых членов, а В /С есть несократимая дробь, то, умножая на С, получим уравнение АС+В=0, совместное с данным. В противном случае, если дробь В /С сократима, то необходимо сократить ее раньше уничтожения ее знаменателя, чтобы не внести в уравнение постороннего ему корня.

Обратно, только тогда можно разделить обе части уравнения на выражение, содержащее неизвестное, когда от этого получатся такие дроби, которые, будучи соединены все в одной части уравнения, дают в результате дробь, не сокращающуюся ни на какой множитель, содержащий неизвестное. В противном случае нужно при сокращении уравнения на делитель, заметить тот корень, который теряется при этом сокращении, и считать его в числе корней данного уравнения.

В нижеследующих задачах звездочкой обозначены те уравнения, при решении которых нужно принимать во внимаиие сделанные выше указания. Остальные задачи можно решать по обыкновенным правилам.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *