Пи делить на 12 где на окружности
Перейти к содержимому

Пи делить на 12 где на окружности

  • автор:

Как обозначать числа с пи на числовой окружности?

Надеюсь, вы уже прочитали про числовую окружность и знаете, почему она называется числовой, где на ней начало координат и в какой стороне положительное направление. Если нет, то бегом читать ! Если вы, конечно, собираетесь находить точки на числовой окружности.

Обозначаем числа \(2π\), \(π\), \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)

Как вы знаете из прошлой статьи, радиус числовой окружности равен \(1\). Значит, длина окружности равняется \(2π\) (вычислили по формуле \(l=2πR\)). С учетом этого отметим \(2π\) на числовой окружности. Чтобы отметить это число нужно пройти от \(0\) по числовой окружности расстояние равно \(2π\) в положительном направлении, а так как длина окружности \(2π\), то получается, что мы сделаем полный оборот. То есть, числу \(2π\) и \(0\) соответствует одна и та же точка. Не переживайте, несколько значений для одной точки — это нормально для числовой окружности.

0 и 2pi на окружности

Теперь обозначим на числовой окружности число \(π\). \(π\) – это половина от \(2π\). Таким образом, чтобы отметить это число и соответствующую ему точку, нужно пройти от \(0\) в положительном направлении половину окружности.

как найти pi на окружности?

Отметим точку \(\frac\) . \(\frac\) – это половина от \(π\), следовательно чтобы отметить это число, нужно от \(0\) пройти в положительном направлении расстояние равное половине \(π\), то есть четверть окружности.

где на окружности пи/2

Обозначим на окружности точки \(-\) \(\frac\) . Двигаемся на такое же расстояние, как в прошлый раз, но в отрицательном направлении.

где на окружности - pi/2?

Нанесем \(-π\). Для этого пройдем расстояние равное половине окружности в отрицательном направлении.

где на окружности - пи ?

Теперь рассмотрим пример посложнее. Отметим на окружности число \(\frac\) . Для этого дробь \(\frac\) переведем в смешанный вид \(\frac\) \(=1\) \(\frac\) , т.е. \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Значит, нужно от \(0\) в положительную сторону пройти расстояние в пол окружности и еще в четверть.

найдите 3пи/2 на окружности

Задание 1. Отметьте на числовой окружности точки \(-2π\),\(-\) \(\frac\) .

Обозначаем числа \(\frac\), \(\frac\), \(\frac\)

Выше мы нашли значения в точках пересечения числовой окружности с осями \(x\) и \(y\). Теперь определим положение промежуточных точек. Для начала нанесем точки \(\frac\) , \(\frac\) и \(\frac\) .
\(\frac\) – это половина от \(\frac\) (то есть, \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2)\) , поэтому расстояние \(\frac\) – это половина четверти окружности.

отметьте pi 4 на окружности

\(\frac\) – это треть от \(π\) (иначе говоря, \(\frac\) \(=π:3\)), поэтому расстояние \(\frac\) – это треть от полукруга.

Отметьте пи на 3

\(\frac\) – это половина \(\frac\) (ведь \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(:2\)) поэтому расстояние \(\frac\) – это половина от расстояния \(\frac\) .

отметьте pi 6

Вот так они расположены друг относительно друга:

все самые главные точки на числовой окружности

Замечание: Расположение точек со значением \(0\), \(\frac\) ,\(π\), \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) , \(\frac\) лучше просто запомнить. Без них числовая окружность, как компьютер без монитора, вроде бы и полезная штука, а использовать крайне неудобно.

Разные расстояние на окружности наглядно:

разрезали числовую окружность на отрезки длиной пи на 6окружность поделили на 6 кусочков длиной пи на 3

поделили на 8 кусочков пи на 4 числовая окружность на 4 кусочка пи на 2

Обозначаем числа \(\frac\), \(-\frac\), \(\frac\)

Обозначим на окружности точку \(\frac\) , для этого выполним следующие преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=π+\) \(\frac\) . Отсюда видно, что от нуля в положительную сторону надо пройти расстояние \(π\), а потом еще \(\frac\) .

7 пи на 6 на числовой окружности

Отметим на окружности точку \(-\) \(\frac\) . Преобразовываем: \(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-π-\) \(\frac\) . Значит надо от \(0\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(π\) и еще \(\frac\) .

Отметьте -4pi 3

Нанесем точку \(\frac\) , для этого преобразуем \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=2π-\) \(\frac\) . Значит, чтобы поставить точку со значением \(\frac\) , надо от точки со значением \(2π\) пройти в отрицательную сторону расстояние \(\frac\) .

7 пи на 4 на числовой окружности

Обозначаем числа \(10π\), \(-3π\), \(\frac\) ,\(\frac\), \(-\frac\), \(-\frac\)

Запишем \(10π\) в виде \(5 \cdot 2π\). Вспоминаем, что \(2π\) – это расстояние равное длине окружности, поэтому чтобы отметить точку \(10π\), нужно от нуля пройти расстояние равное \(5\) окружностям. Нетрудно догадаться, что мы окажемся снова в точке \(0\), просто сделаем пять оборотов.

10 pi на числовой окружности

Из этого примера можно сделать вывод:

Числам с разницей в \(2πn\), где \(n∈Z\) (то есть \(n\) — любое целое число) соответствует одна и та же точка.

То есть, чтобы поставить число со значением больше \(2π\) (или меньше \(-2π\)), надо выделить из него целое четное количество \(π\) (\(2π\), \(8π\), \(-10π\)…) и отбросить. Тем самым мы уберем из числа, не влияющие на положение точки «пустые обороты».

Точке, которой соответствует \(0\), также соответствуют все четные количества \(π\) (\(±2π\),\(±4π\),\(±6π\)…).

Теперь нанесем на окружность \(-3π\). \(-3π=-π-2π\), значит \(-3π\) и \(–π\) находятся в одном месте на окружности (так как отличаются на «пустой оборот» в \(-2π\)).

- пи и -3пи

Кстати, там же будут находиться все нечетные \(π\).

Точке, которой соответствует \(π\), также соответствуют все нечетные количества \(π\) (\(±π\),\(±3π\),\(±5π\)…).

Сейчас обозначим число \(\frac\) . Как обычно, преобразовываем: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=3π+\) \(\frac\) \(=2π+π+\) \(\frac\) . Два пи – отбрасываем, и получается что, для обозначения числа \(\frac\) нужно от нуля в положительную сторону пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) (т.е. половину окружности и еще четверть).

7 пи на 2 на числовой окружности

Отметим \(\frac\) . Вновь преобразования: \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(=\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=5π+\) \(\frac\) \(=4π+π+\) \(\frac\) . Ясно, что от нуля надо пройти расстояние равное \(π+\) \(\frac\) – и мы найдем место точки \(\frac\) .

16 пи на 3 на числовой окружности

Нанесем на окружность число \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(= -\) \(\frac\) \(-\) \(\frac\) \(=-10π-\) \(\frac\) . Значит, место \(-\) \(\frac\) совпадает с местом числа \(-\) \(\frac\) .

обозначьте -21 пи на 2

Обозначим \(-\) \(\frac\) .
\(-\) \(\frac\) \(=-\) \(\frac\) \(+\) \(\frac\) \(=-5π+\) \(\frac\) \(=-4π-π+\) \(\frac\) . Для обозначение \(-\) \(\frac\) , на числовой окружности надо от точки со значением \(–π\) пройти в положительную сторону \(\frac\) .

Деление окружности на 12 равных частей

окружность

С помощью циркуля в точках окончания диаметров чертим четыре таких же окружности и отмечаем точки в областях пересечения новых окружностей с первоначальной.

деление окружности на двенадцать равных частей

При помощи линейки последовательно соединяем точки друг с другом и получаем равносторонний двенадцатиугольник, то есть правильный двенадцатиугольник.

двенадцатиугольник

Затем с помощью линейки к центру первоначальной окружности проводим отрезки и тем самым делим окружность на 12 равных частей.

восьмиугольник

окружность равных 12 частей

32364

Число Пи

Даже если вы давно закончили школу и из всего курса математики помните только таблицу умножения, мы уверены: про число пи вы знаете. Скажете с ходу, чему оно равно? Помните, для чего нужно число пи и как его посчитать? Если нет, читайте наш урок

Представляете, мы живем в эпоху технологического прорыва, но до сих пор не можем точно рассчитать площадь съеденного круглого торта? Все потому, что в формуле вычисления площади круга используется число π.

От автомобильного колеса до орбиты спутника, от часового механизма до электромагнитных и звуковых волн. В любой научной области есть расчеты, и практически в любом расчете не обойтись без числа пи. Даже там, где, казалось бы, окружности нет места, например в статистике.

Что такое число пи

Число пи — это отношение длины окружности к ее диаметру. Обозначается оно буквой греческого алфавита π. Если записать это отношение математическими символами, то выглядит оно так: π = C/d, где C — это длина окружности, а d — диаметр окружности. То есть π — это результат деления длины окружности на ее диаметр. Но само по себе число пи не является каким-то параметром окружности. Это математическая постоянная, или константа (то есть неизменная), которая нужна для расчета определенных данных. Например, число пи необходимо, чтобы посчитать площадь круга.

Чему равно число пи

Число пи не имеет точного значения. Это легко проверить. Возьмите круг любого размера, разделите его окружность на диаметр — у вас получится десятичная дробь с множеством цифр после запятой. Математики называют такие числа иррациональными. Результат, который вы увидите, будет равен 3 целых и сколько-то десятых, сотых, тысячных — и далее насколько хватит дисплея калькулятора. У числа пи бесконечное количество знаков после запятой. Но для удобства в расчетах используют округленные значения.

Число π примерно равно 3,14, или, если точнее, 3,1415926535. Именно значение с десятью знаками после запятой принято использовать. Но все дело в округлении. Там, где не нужны максимально точные расчеты, за число пи часто берут 3. А вот для точных расчетов в науке ученые используют число пи с 38-ю знаками десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

Итак:
π = 3,14 или π = 3,1415926535

Как посчитать число пи самостоятельно

Возьмите несколько круглых предметов разного размера, например тарелку, блюдце и крышку от кастрюли. Измерьте окружность каждого. Для этого используйте сантиметровую ленту. Или можно обернуть их по окружности ниткой или веревкой, а потом полученную длину нитки или веревки измерить линейкой. С помощью сантиметровой ленты или линейки измерьте и диаметр каждого предмета. Длина окружности и диаметры у каждого будут разные, ведь предметы разные по размеру.

Теперь для каждого предмета разделите его длину окружности на диаметр. Вы увидите, что во всех случаях, какого бы размера ни был круглый предмет, полученное значение будет 3 целых и далее десятые и сотые доли. Оно необязательно соответствует принятому значению в 3,14, но всегда будет около него.

Практическое применение числа пи

В школе нас учат использовать число пи для вычисления площади круга. Рассчитывается она по следующей формуле: S = πr², где S — площадь, π — число пи, r² — радиус в квадрате. Можно использовать эту формулу: S = d²/4*π, где d² — диаметр.

Зная число пи и диаметр, можно посчитать длину окружности. Для этого вспомним школьные уравнения. Если π = C/d, то C (длина окружности) высчитывается по формуле C = π*d.

Но применение числа пи в науке гораздо шире. Оно используется практически для любых расчетов в любой области, будь то архитектура, авиация и даже статистика. Например, число π нужно для расчета времени полета самолета и расстояния, которое он должен преодолеть. А в статистике с помощью числа пи рассчитывают значения ниже так называемой кривой нормального распределения. Это нужно для того чтобы, например, выяснить, как распределялись голоса респондентов при опросе.

S (площадь круга) = πr²

История числа пи

Считается, что первым обозначать число пи буквой греческого алфавита π (pi) стал британский математик Уильям Джонс в 1706 году, а популяризировал обозначение его швейцарский коллега Леонард Эйлер в 1737 году. Есть версия, что эта буква выбрана не случайно, а как начальная в греческом слове perijereia, что означает «окружность», «периферия».

Как и на многие явления, известные науке сегодня, на существование некой постоянной, с помощью которой можно посчитать площадь круга, обратили внимание еще в Древнем мире. Но ученые того времени приходили к разному мнению относительно значения этой постоянной: одни использовали значение 3,125, другие — 3,16, третьи — 3,139. Но всегда это значение было 3 с небольшим.

На точное вычисление числа пи ушли тысячелетия. Первым, кто определил более-менее приблизительное значение π, был древнегреческий ученый Архимед. По его расчетам пи равно 3,142857142857143. Как мы знаем сейчас, верными оказались только первые два десятичных числа.

это интересно
Натуральные числа
Их разряды, классы и свойства

Точнее оказались расчеты китайского математика 480-х годов нашей эры — 3,1415927. Именно это значение числа пи считалось самым верным до 1420-х годов, пока ученые не расширили этот ряд до 16 цифр после запятой, затем до 20-ти, 32-х и так далее.

В XX веке с приходом компьютерных систем и вычислительной техники дело пошло быстрее: теперь уже точные десятичные значения высчитывали машины. С помощью специальных алгоритмов математики во всем мире продолжают определять новые, более точные значения числа пи, устанавливая рекорды по количеству цифр десятичного разложения (после запятой в десятичной дроби).

5 тем, без которых не сдать ЕГЭ по математике

На экзамене даже простые и знакомые темы могут вызывать трудности. Проверьте, все ли из этих тем вам известны.

  1. Все правила раскрытия скобок
  2. Три способа вычислить длину окружности
  3. Что такое смешанные числа
  4. Как правильно разложить число на простые множители
  5. Способы вычислить площадь треугольника

Популярные вопросы и ответы

Отвечают Вячеслав Смольняков, учитель математики и информатики высшей квалификационной категории, эксперт ОГЭ и ЕГЭ Региональной предметной комиссии по математике и информатике; Ирина Ходакова, учитель математики.

Как округлить число пи?

Чтобы не запоминать число пи с большим количеством десятичных значений, его принято округлять, — говорит Вячеслав Смольняков. — В математике все округления проводятся по строгим правилам. Для округления значения числа пи применяют метод округления к ближайшему целому. Если перед округляемым числом стоит число 5 и большее, то число округляется в большую сторону. Например, 12,513. Другой пример: 12,5812,613.

Если перед округляемым числом стоит число менее 5, то число округляется в меньшую сторону. Например, 12,412. Или: 12,3412,312.

Итак, возьмем π — 3,1415. Округление начинают с последнего значения, в данном случае это 5. Значит, следующая за ним единица округляется до двух: 3,14153,142. Последнее число 2 меньше пяти, значит, последующее 4 остается неизменным: 3,1423,14. Вот мы и пришли к общепринятому значению числа пи.

По тому же принципу давайте продолжим округление до целого числа: 3,143,23. И вот у нас получилось значение числа пи 3.

Как запомнить число пи?

Чтобы запомнить значение числа π, — советует Ирина Ходакова, — используют один из самых популярных способов — запомнить фразу, в которой количество букв в каждом слове совпадает с цифрами числа π.

Например, «Что(3) я(1) знаю(4) о(1) круге(5)?»

Чтобы запомнить больше знаков числа π, пользуются различными приемами мнемотехники (совокупность приемов, облегчающих запоминание информации). Например, существует стихотворение С. Боброва «Волшебный двурог» для запоминания числа π, которое совсем не сложно выучить:

«Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Ну и дальше надо знать,
Если мы вас спросим —
Это будет пять, три, пять,
Восемь, девять, восемь»

Где используется число пи?

Изначально число π было необходимо для применения в строительстве. Ведь порой из-за погрешности в значении числа π падали башни и рушились целые дворцы. Сейчас π используется в различных сферах нашей жизни.

Мы уже выяснили, что число π позволяет нам рассчитывать и создавать окружности. Если колеса на вашем автомобиле будут немного отличаться друг от друга, то поездки для вас станут как минимум не очень удобными. Но применение числа π этим не ограничивается. Например, без числа π нельзя было бы обеспечить качественную работу телевизоров, радио и телефонов, так как инженеры используют π для расчета и оптимизации звуковых волн. Также π играет важную роль в расчете времени и расстояния путешествия на самолете, так как на большие расстояния самолеты летят по округлой дуге. Не было бы даже многих игр, таких как футбол, баскетбол, теннис, ведь мячи должны быть абсолютно круглыми.

Калейдоскоп формул для π

«…я считал, что есть две математики — алгебраическая и геометрическая, и что геометрическая математика принципиально “трансцендентна” для алгебраической. Возьмите, например, формулу длины окружности — там есть “геометрическое” число $\pi$. Или, скажем, синус — он определяется чисто геометрически.

Когда я обнаружил, что синус можно записать алгебраически в виде ряда, барьер обрушился, математика стала единой.»

— из интервью И. М. Гельфанда

«Калейдоскоп» ниже состоит из нескольких «алгебраических» формул для $\pi$ с краткими комментариями. Он также опубликован (с сокращениями) в журнале «Квант» (№5 за 2020 год).

1. Формула Виета

Одна из первых алгебраических формул для $\pi$ — это открытое в XVI веке Виетом бесконечное произведение $$ \frac\pi2=\frac2\cdot\frac2>\cdot\frac2>>\cdot\ldots $$ Это равенство не очень сложно доказать. Идея состоит в следующем. Применяя несколько раз формулу $\sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2$, получаем, что $\sin x=2^n\sin\frac x\cdot(\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\ldots\cdot\cos\frac x)$. Но при малых $t$ имеет место приближенное равенство $\sin t\approx t$ (говоря точнее, отношение $\sin t/t$ стремится к 1). Поэтому $2^n\sin(x/2^n)\approx x$ (при $n\to\infty$) и, устремляя $n$ к бесконечности, мы получаем разложение синуса в бесконечное произведение $$ \fracx=\cos\frac x2\cdot\cos\frac x4\cdot\cos\frac x8\cdot\ldots $$ Чтобы получить формулу Виета, остается подставить $x=\pi/2$ (и найти косинусы в правой части, пользуясь формулой половинного угла).

Геометрически формула Виета связана с приближением окружности правильными .

2. Формула Лейбница

Во второй половине XVII века Лейбниц нашел замечательно простое представление $\pi$ в виде (бесконечной) суммы рациональных слагаемых, $$ \frac\pi4=1-\frac13+\frac15-\frac17+\ldots $$ Для современного студента эта формула, вероятно, самая понятная из собранных здесь: она получается, если подставить $x=1$ в разложение арктангенса в степенной ряд $$ \operatorname x=x-\frac3+\frac5-\frac7+\ldots $$ (отметим, впрочем, что при $|x|>1$ ряд в правой части расходится и доказательство того, что равенство верно не только при $|x|

А в начале XX века Рамануджан нашел ряд формул, обобщения которых сходятся настолько быстро, что позволяют вычислить на достаточно мощном персональном компьютере триллионы знаков $\pi$. Вот одна из таких формул: $$ \frac1\pi = 12\sum_k(-1)^k\fracc_k, $$ где $$ c_k=\frac<640320^<3(k+1/2)>>. $$ Скажем про нее только, что если предыдущие формулы были связаны с тригонометрическими функциями, то эта — с модулярными формами, а $163$ и $640320^3$ — те же числа, что возникают в удивительном (погрешность менее $10^$!) равенстве $$ e^<\pi\sqrt<163>>\approx 640320^3+744. $$

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *