Что такое числовой ряд в информатике
Перейти к содержимому

Что такое числовой ряд в информатике

  • автор:

Числовой ряд

Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов

  • вещественные числовые ряды — изучаются в математическом анализе;
  • комплексные числовые ряды — изучаются в комплексном анализе;

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Определение

\<a_i\></p>
<p>Пусть _^<\infty>» width=»» height=»» /> — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность</p><div class='code-block code-block-2' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 2joomlaumnik -->
<script src=

\<s_k\></p>
<p>_^<\infty>,» width=»» height=»» /></p>
<p>каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида</p><div class='code-block code-block-3' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 3joomlaumnik -->
<script src=

s_k=\sum_<i=1></p>
<p>^a_i.» width=»» height=»» /></p>
<p>Вообще, для обозначения ряда используется символ</p><div class='code-block code-block-4' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 4joomlaumnik -->
<script src=

\sum_<i=1></p>
<p>^<\infty>a_i,» width=»» height=»» /></p>
<p>поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.</p><div class='code-block code-block-5' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 5joomlaumnik -->
<script src=

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

S

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

S=\sum_<i=1></p>
<p>^<\infty>a_i,» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-7' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 7joomlaumnik -->
<script src=

Операции над рядами

Пусть заданы сходящиеся ряды \sum_<n=0>^\infty a_n» width=»» height=»» /> и <img decoding=

  • Их произведением по Коши называется ряд \sum c_n, где  c_n = \sum_<k=0>^n a_k b_» width=»» height=»» /></li>
</ul>
<p>Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.</p>
<h3>Критерий абсолютной сходимости</h3>
<p>Ряд <img decoding=сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда \,b_kи \,c_k.Где \,a_k = b_k - c_k, \left|a_k\right| = b_k + c_k, b_k \geqslant 0, c_k \geqslant 0, \forall k.

    Доказательство. Если сходится \sum \left|a_k\right|,то по признаку сравнения тем более сходятся \,b_kи \,c_k.Наоборот, если сходятся \,b_kи \,c_k,то сходится и их сумма \sum \left|a_k\right|.

    См. также

    Литература

    Числовой ряд

    Числовой ряд — это числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

    Рассматриваются числовые ряды двух видов

    Определение

    Пусть — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность каждый элемент которой представляет собой сумму некоторых членов исходной последовательности. В наиболее простом случае используются обычные частичные суммы вида Вообще, для обозначения ряда используется символ поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования. В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

    Если числовой ряд сходится, то предел S последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

    Операции над рядами

    Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

    Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится, если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

    Критерий абсолютной сходимости

    Ряд сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба положительных ряда и Где Доказательство. Если сходится то по признаку сравнения тем более сходятся и Наоборот, если сходятся и то сходится и их сумма

    «O» большое и «o» малое

    «O» большое и «o» малое (O и o) — математические обозначения для сравнения асимптотического поведения функций. Используются в различных разделах математики, но активнее всего — в математическом анализе, теории чисел и комбинаторике, а также при оценке сложности алгоритмов. В частности, фраза «сложность алгоритма есть O(n!)» означает, что при больших n время работы алгоритма (или общее количество операций) не более чем C · n!, где C — некая положительная константа (обычно в качестве параметра n берут объём входной информации алгоритма).

    Числовой ряд

    То есть это числовой ряд, кратных р значений: 2р, 3р, 4р, …).
    Числовой ряд.
    Выполним проход по числовому ряду и зачеркнём все кратные трём числа.
    Числовой ряд.
    Числовой ряд.

    Автор Дмитрий Михайлович Беляев
    Источник Справочник
    Категория Информатика
    Статья от экспертов

    О перестановках числовых и функциональных рядов

    В данной статье рассматриваются перестановки условно сходящихся функциональных рядов в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤. Известная теорема Римана утверждает, что множество сумм любого сходящегося числового ряда линейно. М.И.Кадец доказал, что в пространствах Lp[0,1] при 1≤p≤∞ условия линейности множества сумм ряда выглядит следующим образом: Ʃn=1 ∞||xn||min(2,p). В данной статье приводится пример ряда с нелинейным в пространстве Lp[0,1] множеством сумм, который показывает неусиляемость условия М.И.Кадеца в расссматриваемых пространствах.

    Автор(ы) Корнилов Петр Анатольевич
    Источник Ярославский педагогический вестник
    Научный журнал

    Признак сходимости Даламбера, примеры

    Перейдём к определению числового ряда.
    Определение 1 Числовой ряд — это бесконечная сумма из бесконечной последовательности чисел: $\sum.
    Приведём понятие сходящегося числового ряда и расходящегося.
    Определение 2 Числовой ряд сходящийся, если существует предел вида $S=\lim\limits_ S_n.
    В теории числовых рядом первым вопросом является вопрос о сходимости данного ряда.

    Автор Александр Мельник
    Источник Справочник
    Категория Математика
    Статья от экспертов

    Сходящиеся и расходящиеся числовые ряды

    В статье анализируются числовые ряды, признаки сходимости и расходимости.

    ЧИСЛОВОЙ РЯД

    ЧИСЛОВОЙ РЯД – бесконечная сумма членов бесконечной числовой последовательности an> называется числовым рядом:

    Также по теме:
    МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

    Каждому натуральному n сопоставляется сумма первых n членов последовательности an>

    Также по теме:
    ЧИСЛОВАЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ

    Значения Sn называют частичными суммами ряда. Они образуют последовательность Sn> последовательность частичных сумм (бесконечного) ряда an – общий член ряда.

    Если последовательность частичных сумм данного ряда имеет предел S, то есть

    то ряд сходится и S – его сумма. Записывается это следующим образом:

    В противном случае ряд называют расходящимся.

    Таким образом, сумма ряда – это, по определению, предел последовательности его частичных сумм.

    Пусть есть геометрическая прогрессия bn = b1q n –1, знаменатель которой q по абсолютной величине меньше единицы (–1 n + b1q2 + …+ b1q n –1= .

    Очевидно, что при |q| n стремится к нулю. Тогда значение Snстремится к и это число называется суммой всех членов бесконечной убывающей геометрической прогрессии: b1 + b1q n + b1q2 + …= .

    Признаки сходимости рядов.

    Необходимый признак сходимости ряда: последовательность членов сходящегося ряда должна стремится к нулю: .

    Это условие не является достаточным, как показывает пример ряда .

    Для этого ряда выполняется необходимый признак сходимости ряда: , однако, ряд расходится, так как частичные суммы

    Для выяснения сходимости рядов найдены разнообразные достаточные признаки сходимости или расходимости рядов.

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *