Что такое симметричная матрица
Перейти к содержимому

Что такое симметричная матрица

  • автор:

Симметричная матрица

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что  \forall i,j: a_<ij>=a_» width=»» height=»» />.</p>
<p>Это означает, что она равна её транспонированной матрице:</p>
<p> <img decoding=

Примеры

 \begin</p>
<p>7 10 x2 10 2 -1 x -1 9 \end , \begin 1 & 3 & 0 \\ 3 & 2 & 6 \\ 0 & 6 & 5 \end , \begin 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end , \begin 1 & 5 \\ 5 & 7 \end , \begin 2 \end » width=»» height=»» /></p>
<h3>Свойства</h3>
<p>Симметричная матрица всегда квадратная.</p>
<p>Для любой симметричной матрицы <i>A</i> с вещественными элементами справедливо следующее:</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

  • она имеет вещественные собственные значения
  • её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0

  • из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
  • матрицу A можно привести к диагональному виду: A = QDQ^<T>» width=»» height=»» />, где <img decoding=— ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
  • Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение\lambda, то она имеет диагональный вид: A = \lambda E, где E— единичная матрица, в любом базисе.
  • Типы матриц

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Нижнешиловское
  • Треугольная матрица

Полезное

Смотреть что такое «Симметричная матрица» в других словарях:

  • Матрица линейного оператора — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
  • Матрица моментов плана — 47. Матрица моментов плана Квадратичная симметричная матрица, элементы которой есть скалярные произведения соответствующих векторов столбцов матрицы базисных функций Источник: ГОСТ 24026 80: Исследовательские испытания. Планирование эксперимента … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
  • МАТРИЦА — прямоугольная таблица состоящая из т строк и n столбцов; её паз. M. размера Элементами(первый индекс указывает номер строки, второй номер столбца) M. могут быть числа, ф ции пли др. величины, над к рыми можно производить алгебраич. операции. M.… … Физическая энциклопедия
  • Матрица мер конвергенции — матрица содержащая в качестве элементов меры сходства объектов. Матрица отражает попарное сходство объектов. Сходство является показателем, измеренном в порядковой шкале и, следовательно, возможно лишь определение отношений вида: больше , меньше… … Википедия
  • Матрица (в математике) — Матрица в математике, система элементов aij (чисел, функций или иных величин, над которыми можно производить алгебраические операции), расположенных в виде прямоугольной схемы. Если схема имеет m строк и n столбцов, то говорят о (m n) матрице.… … Большая советская энциклопедия
  • Матрица (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых, действительных или комплексных чисел), которая представляет… … Википедия
  • Матрица — I Матрица (нем. Matrize, от латинского matrix матка, источник, начало) в полиграфии, 1) сменный элемент литейной формы с углублённым (иногда фотографическим) изображением буквы или знака, используемый при отливке типографских… … Большая советская энциклопедия
  • матрица пучка Р — 3.8 матрица пучка Р: Симметричная, положительно определенная 4×4 матрица, содержащая все десять моментов второго порядка вигнеровского распределения и его элементов; записывается следующим образом: (7)… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации
  • Квадратная матрица — Матрица математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы чисел (или элементов кольца) и допускающий алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение и др.) между ним и другими подобными объектами. Правила выполнения… … Википедия
  • Обратная матрица — Обратная матрица такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Квадратная матрица обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю. Для… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Что такое симметричная матрица

Решение

является кососимметричной, поскольку

Решение

Ортогональные и симметричные матрицы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Алейникова Анастасия Алексеевна

В статье анализируется применение ортогональных и симметричных матриц в экономике. Рассматривается способ представление экономических таблиц в матричном виде.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Алейникова Анастасия Алексеевна

Малоранговые возмущения нормальных и сопряженно-нормальных матриц и их компактные формы относительно унитарных подобий и конгруэнций

О матричном уравнении XX¯ = x¯X
О матрице фрейма
Формирование ассортиментной политики малой торговой сети
Алгебраическая структура однодетерминантногофункционала электронной энергии молекулы
i Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Ортогональные и симметричные матрицы»

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ И СИММЕТРИЧНЫЕ МАТРИЦЫ Алейникова А.А.

Алейникова Анастасия Алексеевна — студент, финансово-экономический факультет, Российский экономический университет им. Г.В. Плеханова, г. Краснодар

Аннотация: в статье анализируется применение ортогональных и симметричных матриц в экономике. Рассматривается способ представление экономических таблиц в матричном виде. Ключевые слова: ортогональные матрицы, экономические таблицы, симметричные матрицы, матричные модели, экономические задачи.

Жизнь человека невозможна без математических вычислений. Каждый сталкивается с ними по многу раз в день. Математика активно используется во всех сферах жизни и деятельности.

В данной статье будет рассмотрено применение ортогональных и симметричных матриц в экономике, но для начала дадим определение и изучим историю их появления.

Ортогональные матрицы — это квадратные матрицы с вещественными элементами, результат умножения которых на транспонированные матрицы равны единичной матрицы: ААТ = АТА = Е, или, что эквивалентно, их обратные матрицы, равные транспонированным матрицам, которые обязательно существуют: А»1 = АТ. [1, 52 е.]

Комплексными аналогами ортогональных матриц являются унитарные матрицы.

Ортогональные матрицы обладают следующими свойствами:

1. Столбцы и строки ортогональных матриц образуют системы ортонормальных векторов, иными словами, скалярное произведение строки на само себя равно 1, а на любую другую строку — 0. Тоже справедливо и для столбцов.

2. Определитель ортогональной матрицы равен +1.

3. Множество ортогональных матриц порядка п над полем к образует группу по умножению (ортогональную).

4. Матрица вращения является специальной ортогональной, а матрица отражения -ортогональной.

5. Вещественные ортогональные матрицы подобны блочно-диагональным матрицам с блоками вида: (+1) и I I

6. Ортогональная матрица с определителем +1 называется специальной ортогональной.

7. Ортогональная матрица является унитарной, а значит и нормальной.

Изучив основные понятия и свойства ортогональной матрицы, можно рассмотреть понятие и свойства симметричной матрицы.

Симметричная матрица — это квадратная матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Данная матрица равна ее транспонированной матрице. [3, 153 е.]

Свойства симметричной матрицы:

1. Данная матрица имеет вещественные собственные значения;

2. Её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу;

3. Из её собственных векторов всегда можно составить ортонормированный базис;

4. Если у симметричной матрицы А единственное собственное значение X, то она имеет диагональный вид: А=ХЕ, где Е — единичная матрица, в любом базисе;

5. Матрицу А можно привести к диагональному виду: А=QDQT, где Q — ортогональная матрица, столбцы которой содержат ортонормированный базис из собственных векторов, а Б -диагональная матрица с собственными значениями матрицы А на диагонали.

Изучив понятия и свойства ортогональных и симметричных матриц, можно рассмотреть применение таких матриц в экономике.

При решении экономических задач, основным методом является матричный метод, так как практически любую таблицу можно записать в виде матрицы и решить её.

Когда решаются поставленные задачи, то применяются различные модели решений, например: модель Леонтьева, цифровые таблицы прямоугольной формы, математические вектор-столбцы.

Экономические задачи не решаются путем построения ортогональных или симметричных матриц, но некоторые выше упомянутые модели решаются путем приведения полученных матриц к виду симметричных или ортогональных.

При помощи данного метода можно решать следующие виды экономических задач:

1. Задачи на составление плана выпуска;

2. Задачи на составление диет;

3. Различные транспортные задачи;

4. Задачи отраслевой экономики;

5. Регулирование экономического развития;

6. Расчеты по оптимизации внешней торговли;

7. Составление межрегиональных балансов;

8. Расчеты по ценообразованию. [4, 37 е.]

Итак, можно сделать вывод о том, что матричные модели в экономике — балансово-нормативные модели представленные в виде таблиц, которые отражают соотношения затрат и результатов производства, нормативы затрат, производственные и экономические структуры. Имеют широкое применение в нахождении межотраслевого баланса и многом другом.

1. Кремер Н.Ш. Высшая математика для экономистов М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2007. 479 с.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. 4-е изд. М: Наука, 1999. 158 с.

3. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Высш. шк., 1998. 320 с.

4. Полиа Г., Сегё Г. Задачи и теоремы из анализа. Т. 2. М.: Наука. 1978. 122 с.

5. Сарычева О.М. Численные методы в экономике М.: Новосибирск, 1995. 67 с.

ФОРМИРОВАНИЕ АССОРТИМЕНТНОЙ ПОЛИТИКИ МАЛОЙ

ТОРГОВОЙ СЕТИ Гордиенко А.А.

Гордиенко Анастасия Алексеевна — студент, кафедра стратегического и корпоративного управления, Сибирская академия финансов и банковского дела, г. Новосибирск

Аннотация: в статье анализируется современное состояние рынка торговой сети и положение малых торговых сетей. В частности, рассмотрены основные проблемы формирования ассортиментной политики малой торговой сети и разработаны этапы её формирования; рассмотрены её основные особенности и выделены основные сильные и слабые стороны в сравнении с большими торговыми сетями.

Ключевые слова: ассортимент, ассортиментная политика, торговая сеть, этапы.

В настоящее время проблема формирования ассортиментной политики стоит особенно остро для малых сетей. Конкуренция между торговыми организациями с каждым днём становится всё больше, поэтому важно обозначить своё место на рынке. Как правило, только что созданные организации пользуются стратегиями конкурентных фирм, однако, чтобы составить конкуренцию большим и развитым организациям, следует разработать индивидуальную стратегию ведения бизнеса.

Многие небольшие магазины уже стали жертвами в конкурентной борьбе с крупными сетями. Конкурировать с такими гигантами трудно, но это возможно. В первую очередь нужно понять, что клиент покупает не продукт и не услугу: он приобретает решение своей проблемы.[1]

Крупный магазин охватывает все широко, но не гибко и зачастую поверхностно. Конкурентные преимущества небольших магазинов — мобильность (скорость реакции на потребности покупателей), гибкость, качество обслуживания и личный подход. При должном подходе, даже небольшие магазины могут себя уверенно чувствовать в бурной конкурентной среде.

Небольшие компании всегда подвержены ценовому давлению со стороны магазинов крупной розничной торговли. Крупная торговая сеть может позволить себе демпинговать в определенном временном отрезке, тогда как такой период у небольших магазинов может составлять не более пары

Симметричная матрица

Теорема. Для любой матрицы $ A_<> $ матрицы $ A_<>A^ $ и $ A^ A $ — симметричны. Для любой квадратной матрицы $ A_<> $ матрица $ A_<>+A^ $ — симметрична.

Определитель

Теорема [Кэли]. В полном разложении определителя симметричной матрицы порядка $ n $ обозначим $ \mathfrak s_n $ число слагаемых, $ \mathfrak s_n^ <(+)>$ — число слагаемых с положительным знаком, $ \mathfrak s_n^ $ — число слагаемых с отрицательным знаком, а $ \mathfrak d_n =\mathfrak s_n^ <(+)>— \mathfrak s_n^ $. Имеют место соотношения:

$$ \mathfrak s_=(n+1)\mathfrak s_n- C_n^2 \mathfrak s_ \ ; $$ $$ \mathfrak d_=-(n-1)\mathfrak d_n- C_n^2 \mathfrak d_ \ . $$

Имеют место пределы:

Миноры: тождества Кронекера

Теорема [Кронекер]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ порядка $ n \ge k+1 $ имеет место тождество

$$ A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-2 & k \\ 2 & 3 & \dots & k-1 & k+1 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & \dots & k-1 & k \\ 1 & 2 & \dots & k-2 & k+1 \end \right)= $$ $$ = A\left(\begin 1 & 2 & \dots & k-3 & k-2 & k-1 \\ 2 & 3 & \dots & k-2 & k & k+1 \end \right) \ , $$ связывающее три ее минора порядка $ k-1 $.

Пример. Для $ k=4 $:

$$ A\left(\begin 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \end \right)- A\left(\begin 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 5 \end \right)= A\left(\begin 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \end \right) $$ $$ \iff \ \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right|- \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right|= \left| \begin a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \\ a_ & a_ & a_ \end \right| \ . $$

Ранг

См. замечание о терминологии ☞ ЗДЕСЬ.

Теорема. Если $ \mathfrak r = \operatorname (A)\ge 1 $, то в матрице $ A $ существует ненулевой ведущий минор порядка $ \mathfrak r $.

Произведение

Произведение симметричных матриц — не обязательно симметричная матрица!

Теорема. Для того, чтобы произведение симметричных матриц $ A $ и $ B $ было симметричной матрицей необходимо и достаточно, чтобы матрицы $ A $ и $ B $ коммутировали: $ AB = BA $.

Обратная матрица

Теорема. Обратная к симметричной матрице (если существует) является симметричной матрицей.

Характеристический полином, собственные числа, собственные векторы

Теорема 1. Все собственные числа симметричной матрицы вещественны.

Доказательство ☞ ЗДЕСЬ.

Если $ \lambda=0 $ корень кратности $ \mathfrak m $ характеристического полинома симметричной матрицы $ A $, т.е.

$$ \det (A-\lambda E)\equiv(-1)^n \lambda^n+a_1\lambda^+\dots+a_ \lambda^ <\mathfrak m>\quad npu \ a_\ne 0 $$ то $ \operatorname (A)=n-\mathfrak m $.

Если в характеристическом полиноме некоторый коэффициент $ a_j $ при $ j \not\in \ $ обращается в нуль, то соседние с ним в нуль не обращаются и имеют различные знаки: $ a_ a_ < 0 $.

Теорема 2. Собственные векторы, принадлежащие различным собственным числам симметричной матрицы $ A_<> $, ортогональны, т.е. если $ \mathfrak X_1 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ $, а $ \mathfrak X_2 $ принадлежит собственному числу $ \lambda_ $ и $ \lambda_1 \ne \lambda_2 $, то

Локализация собственных чисел

Теорема 3 [Коши]. Для симметричной матрицы $ A_<> $ число ее собственных чисел, лежащих на интервале $ ]a,b_<>[ $, определяется по формуле:

Доказательство и примеры ☞ ЗДЕСЬ.

Согласно этой теореме, главные миноры матрицы $ A-\lambda\, E $ играют роль системы полиномов Штурма для характеристического полинома симметричной матрицы $ A_<> $.

$$ A_1,A_2,\dots,A_ $$ симметричной матрицы $ A_<> $ отличны от нуля, то число положительных собственных чисел матрицы $ A_<> $ равно числу знакопостоянств, а число отрицательных собственных чисел — числу знакоперемен в ряду $ 1,A_1,\dots,A_n $:

Численные методы нахождения собственных чисел

QR-алгоритм поиска всех собственных чисел ☞ ЗДЕСЬ.

Часто в приложениях требуется вычислить значения не всех собственных чисел симметричной матрицы, а только небольшого (по сравнению с порядком матрицы) количества максимальных по модулю. Численный метод решения этой задачи изложен ☞ ЗДЕСЬ.

Диагонализуемость

Для понимания материалов настоящего пункта требуется знание материалов пункта ДИАГОНАЛИЗУЕМОСТЬ МАТРИЦЫ ОПЕРАТОРА.

Теорема 4. Существует ортогональная матрица $ P_<> $, приводящая симметричную матрицу $ A_<> $ к диагональному виду:

$$ P^AP=P^>AP= \left( \begin \lambda_1 & & & \mathbb O \\ & \lambda_2 & & \\ && \ddots & \\ \mathbb O&& & \lambda_n \end \right). $$

Доказательство особенно просто в случае когда все собственные числа $ \lambda_1,\dots, \lambda_n $ различны. На основании теоремы 1 матрица $ A_<> $ диагонализуема над множеством вещественных чисел и на основании теоремы 2 матрица $ P $, приводящая к диагональному виду, может быть выбрана ортогональной.

Для общего случая доказательство производится индукцией по порядку $ n $ матрицы $ A $. Окончание доказательства ☞ ЗДЕСЬ. ♦

Теорема утверждает что даже при наличии кратных корней у характеристического полинома $$ f(\lambda)=(-1)^n(\lambda — \lambda_1)^<<\mathfrak m>_1> \times \dots \times (\lambda — \lambda_<\mathfrak r>)^<<\mathfrak m>_<\mathfrak r>>, \quad <\mathfrak m>_1+\dots+<\mathfrak m>_<<\mathfrak r>>=n, \ \lambda_k \ne \lambda_ \ npu \ k \ne \ell $$ алгебраическая кратность собственного числа $ \lambda_j $ совпадает с его геометрической кратностью: $$\operatorname \, (A-\lambda_j\, E)= <\mathfrak m>_j\, npu \quad \forall j\in \ <1,\dots,\mathfrak r\>.$$ Или, что то же: размерность собственного подпространства $$ \left\ \right\> $$ равна $ <\mathfrak m>_j $. При нахождении фундаментальной системы решений (ФСР) указанной системы уравнений мы получим $ <\mathfrak m>_j $ линейно независимых собственных векторов $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $ , принадлежащих $ \lambda_j $. Однако при традиционных способах построения ФСР вовсе не гарантирована ортогональность этих векторов. Как построить ФСР так, чтобы она удовлетворяла условию теоремы, т.е. была ортонормированной? Воспользуемся для этого процессом ортогонализации Грама-Шмидта, применив его к системе $ \<<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \> $. Результатом процесса будет новая система векторов $ \<<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \> $ такая что ее линейная оболочка совпадает с линейной оболочкой исходной системы: $$ <\mathcal L>\left(<\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> \right)= <\mathcal L>\left(<\mathfrak X>_,\dots, <\mathfrak X>__j> \right) \quad \mbox < и >\quad \langle <\mathfrak Y>_,<\mathfrak Y>_ \rangle =0 \ \mbox < при >\ k \ne \ell \, , $$ т.е. векторы $ <\mathfrak Y>_,\dots, <\mathfrak Y>__j> $ остаются собственными векторами, принадлежащими $ \lambda_j $. Но теперь эти новые векторы попарно ортогональны. Нормировав их, мы получим требуемую теоремой систему из $ <\mathfrak m>_j $ ортогонормированных столбцов матрицы $ P $, соответствующих кратному собственному числу $ \lambda_j $.

Пример. Диагонализовать матрицу

$$ A=\left( \begin 0&1&0&1&0&0&0&-1 \\ 1&0&1&0&0&0&-1&0 \\ 0&1&0&1&0&-1&0&0 \\ 1&0&1&0&-1&0&0&0 \\ 0&0&0&-1&0&1&0&1 \\ 0&0&-1&0&1&0&1&0 \\ 0&-1&0&0&0&1&0&1 \\ -1&0&0&0&1&0&1&0 \end \right) $$ с помощью ортогональной матрицы.

Решение. Имеем: $$ \det (A-\lambda E) \equiv (\lambda-3)(\lambda+3)(\lambda-1)^3(\lambda+1)^3 \, . $$ Ищем собственные векторы. Для простых собственных чисел: $$ \lambda_1=-3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_1=\left[1,-1,1,,-1,-1,1,-1,1\right]^ \ ; $$ $$ \lambda_2=3 \ \Rightarrow \ \mathfrak X_2=\left[-1,-1,-1,-1,1,1,1,1\right]^ \ . $$ Эти столбцы войдут в состав матрицы $ P $, только их надо нормировать: $ \mathfrak X_ /|\mathfrak X_| $. Для кратных собственных чисел $ \lambda_j \in \ $ сначала находим произвольные ФСР $$ \lambda_3=1 \ \Rightarrow \ \left\ x_1&-x_2 & &-x_4 & & & &+x_8 & =0 \\ & x_2 &-x_3 & +x_4 & & -x_6 & & & =0 \\ & & x_3 & +x_4 & & & -x_7 &-x_8& =0 \\ & & & 3\,x_4 &+x_5 & -x_6 & -2\,x_7 & -x_8 & =0 \\ & & & & x_5 & -x_6 & +x_7 & -x_8 & =0 \end \right. $$ $$ \Rightarrow \mathfrak X_ =\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^\ ;\mathfrak X_ =\left[ 0,-1,0,1,-1,0,1,0 \right]^;\ \mathfrak X_ =\left[0,1,1,0,1,0,0,1 \right]^ \ . $$ $$ \lambda_4=-1 \ \Rightarrow \quad \left\< \begin \mathfrak X_ =\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^\\ \mathfrak X_ =\left[ 0,1,-1,0,-1,0,0,1 \right]^ \\ \mathfrak X_ =\left[0,1,0,-1,-1,0,1,0 \right]^ \end \right\>\, . $$ Применяем к каждой из них алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта: $$\mathfrak Y_=\mathfrak X_=\left[1,1,0,0,1,1,0,0 \right]^; $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_+ \alpha > \mathfrak Y_, \quad \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0 \quad \Rightarrow \ \alpha >=-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle >=\frac \quad \Rightarrow $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_=\left[\frac,-\frac,0,1,-\frac,\frac,1,0 \right]^ ; $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_+ \beta > \mathfrak Y_+ \gamma > \mathfrak Y_, \quad \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0, \langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle =0 \quad \Rightarrow \ $$ $$ \beta > =-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle>=-\frac,\ \gamma > =-\frac<\langle \mathfrak X_,\mathfrak Y_ \rangle ><\langle \mathfrak Y_,\mathfrak Y_ \rangle >=\frac \quad \Rightarrow \ $$ $$ \Rightarrow \mathfrak Y_=\left[-\frac,\frac,1,\frac,\frac,-\frac,\frac,1 \right]^ \, . $$ $$ \mathfrak Y_=\mathfrak X_=\left[-1,1,0,0,-1,1,0,0 \right]^, \mathfrak Y_=\left[\frac,\frac,-1,0,-\frac,-\frac,0,1 \right]^, $$ $$ \mathfrak Y_=\left[\frac,\frac,\frac,-1,-\frac,-\frac,1,-\frac \right]^ \, . $$ После нормирования, составляем из этих векторов ортогональную матрицу: $$ P= \left(\begin -\sqrt/4 & \sqrt/4 & 1/2 & \sqrt/6 & -\sqrt/12 & -1/2 & \sqrt/6 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & -\sqrt/4 & 1/2 & -\sqrt/6 & \sqrt/12 & 1/2 & \sqrt/6 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & \sqrt/4 & 0 & 0 & \sqrt/4 & 0 & -\sqrt/3 & \sqrt/12 \\ -\sqrt/4 & -\sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & \sqrt/12 & 0 & 0 & -\sqrt/4 \\ \sqrt/4 & -\sqrt/4 & 1/2 & -\sqrt/6 & \sqrt/12 & -1/2 & -\sqrt/6 & -\sqrt/12 \\ \sqrt/4 & \sqrt/4 & 1/2 & \sqrt/6 & -\sqrt/12 & 1/2 & -\sqrt/6 & -\sqrt/12 \\ \sqrt/4 & -\sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & \sqrt/12 & 0 & 0 & \sqrt/4 \\ \sqrt/4 & \sqrt/4 & 0 & 0 & \sqrt/4 & 0 & \sqrt/3 & -\sqrt/12 \end \right) \, . $$ $$ P^AP= \left( \begin 3&&&&&&& \\ &-3&&&&&& \\ &&1&&&&& \\ &&&1&&&& \\ &&&&1&&& \\ &&&&&-1&& \\ &&&&&&-1& \\ &&&&&&&-1 \end \right) \, . $$ ♦

Квадратичная форма

Экстремальное свойство собственных чисел

Пусть уравнение $ X^>A X=1 $ задает эллипсоид в $ \mathbb R^3 $, т.е. квадратичная форма положительно определена. Построить посылочный ящик минимального объема (минимальный параллелепипед), содержащий данный эллипсоид.

Решение. Если уравнение эллипсоида приведено к каноническому виду $$ \frac+\frac+\frac=1, $$ то ответ геометрически очевиден: эллипсоид «шире всего» в направлении оси, соответствующей максимальному из трех чисел $ a,b,c $, и «уже всего» в направлении оси, соответствующей минимальному из этих чисел. То есть размер оптимального посылочного ящика — $ (2\,a, 2\,b, 2\,c) $. В случае, если уравнение $ X^>A X=1 $ не приведено к каноническому виду, его можно привести к нему с помощью ортогональной замены переменных. Такая замена оставляет инвариантными размеры эллипсоида, а результатом ее становится уравнение эллипсоида в каноническом виде $$ \lambda_1 y_1^2+\lambda_2 y_2^2+\lambda_3 y_3^2=1 \, . $$ Здесь $ \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 $ — собственные числа матрицы $ A $, они являются положительными ввиду предположения о положительной определенности этой матрицы. Соответствующие собственные векторы матрицы определяют главные оси эллипсоида 1) . Сравнивая два канонических вида уравнения эллипсоида, можем размеры посылочного ящика сформулировать в терминах собственных чисел матрицы: максимальный размер эллипсоид имеет равным $ 2/\sqrt<\min \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $, а минимальный — равным $ 2/\sqrt<\max \<\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\>> $. Если эллипсоид нельзя поворачивать вокруг начала координат, то для того, чтобы поместить его в ящик размеров $ 2/\sqrt<\lambda_1>, 2/\sqrt<\lambda_2>, 2/\sqrt <\lambda_3>$ последний надо ориентировать в пространстве: рёбра должны быть параллельны собственным векторам матрицы $ A $. ♦

Замеченное свойство собственных чисел симметричной матрицы распространяется и в многомерное пространство. Традиционно его формулируют в несколько ином виде — хотя и менее наглядном, но более ориентированном на приложения в задачах механики и статистики.

Задача. Найти условные экстремумы квадратичной формы $ F(X)=X^>A X $ на единичной сфере $$ \mathbb S= \< X\in \mathbb R^n \mid x_1^2+\dots+ x_n^2=1 \>\, . $$

В курсе математического анализа показывается, что, во-первых, указанные экстремумы существуют 2) , и, во-вторых, могут быть найдены применением метода множителей Лагранжа.

Теорема. Если $ \lambda_ <\max>$ — максимальное, а $ \lambda_ <\min>$ — минимальное собственные числа матрицы $ A $, то

$$ \max_ X^>A X =\lambda_<\max>, \qquad \min_ X^>A X =\lambda_ <\min>\, . $$ Указанные экстремумы квадратичная форма достигает на соответствующих собственных векторах матрицы $ A $ единичной длины.

Доказательство. Применяем метод множителей Лагранжа, т.е. составляем функцию $$L(X,\lambda) = F(X)- \lambda (X^X-1)$$ и ищем ее абсолютные экстремумы (как функции $ (n+1) $-го аргумента). На основании теоремы о стационарных точках полинома эти экстремумы должны достигаться на вещественных решениях системы уравнений $$ \left\< \begin <\partial L >\big/<\partial x_1 >=&2\left(a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n \right)-2 \lambda x_1 &=0, \\ \dots & & \dots \\ <\partial L >\big/<\partial x_n>=&2\left(a_x_1+a_x_2+\dots+a_x_n \right)-2 \lambda x_n &=0, \\ <\partial L >\big/<\partial \lambda >=&x_1^2+\dots +x_n^2-1 &= 0 \, . \end \right. $$ Решаем эту систему. Первые $ n $ уравнений перепишем в матричном виде $$AX-\lambda X=\mathbb O \ \iff \ (A-\lambda \, E) X=\mathbb O \, . $$ Из последнего уравнения системы следует, что $ X \ne \mathbb O $. Следовательно, решениями системы будут исключительно только собственные векторы $ <\mathfrak X>_j $ матрицы $ A $, при $ \lambda $ равном соответствующему собственному числу $ \lambda_j $ этой матрицы. При $ X=<\mathfrak X>_j $ и $ \lambda=\lambda_j $ получаем экстремальные значения функции $ F(X) $: $$F(<\mathfrak X>_j)=<\mathfrak X>_j^<^>A <\mathfrak X>_j = \lambda_j <\mathfrak X>_j^<^><\mathfrak X>_j=\lambda_j \, . $$ Откуда и следует утверждение теоремы. ♦

Еще один вариант экстремального свойства симметричной матрицы излагается ☞ ЗДЕСЬ.

Кососимметричная матрица

Эрмитова матрица

Обобщение понятия симметричной матрицы на матрицы с комплексными элементами можно было бы формально произвести по той же определяющей формуле $ A=A^ $. Однако такое обобщение практически не используется ввиду потери ряда полезных свойств вещественных симметричных матриц. Вместо этого используют матрицы вида $$ A=P+ \mathbf i Q \quad \mbox \ \ \in \mathbb R^, \ P=P^, \ Q=-Q^ \ , $$ т.е. матрица $ P $ — симметричная, а $ Q $ — кососимметричная. Такие матрицы удовлетворяют равенству $$ \overline^= A \, $$ где $ \overline $ означает комплексное сопряжение всех элементов матрицы $ A $. Матрицы такого вида называются эрмитовыми. Они рассматривается ☞ ЗДЕСЬ.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *