Как вычислить интеграл модуля
Перейти к содержимому

Как вычислить интеграл модуля

  • автор:

Научный форум dxdy

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

На страницу 1 , 2 , 3 След.

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:00

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении $a_$ столкнулся с интегралом от модуля, с которыми раньше не работал. После вдумчивого раскуривания учебника от Ильина и Садовничего родил такое решение, но не знаю, верное ли оно:
$a_= \frac<\pi >\int_<-\pi>^<\pi>2+\left | x \right |dx=\frac<\pi >\left (-\int_<-\pi>^(2+x)dx + \int_^<\pi>(2+x)dx \right ) = \frac<\pi >\left ( 2\int_^<\pi>(2+x)dx \right ) = \frac<\pi >\left ( \int_^<\pi>2dx + \int_^<\pi>xdx \right ) = \frac<\pi >\left ( 2\pi + \frac<\pi^>\right )=4+\pi$» /><br />Что скажете?</p>
<p><b>Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)</b><br />
09.02.2017, 10:08</p>
<table cellspacing= Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Mikhail_K 09.02.2017, 10:10, всего редактировалось 1 раз.

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-\pi,\pi]$к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$и $[0,\pi]$.

$[-\pi,\pi]$

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения. А что дальше?

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$именно на эти два отрезочка, именно точкой <img decoding=$» />$» />$» />$» />$» />, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?

Doctor в сообщении #1190998 писал(а):
родил такое решение, но не знаю, верное ли оно

Решение, про которое Вы не знаете, верное ли оно, просто по определению не может быть верным.
Верное решение — это такое, которое не оставляет поводов для сомнений.

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:13
Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок $[-\pi,\pi]$именно на эти два отрезочка, именно точкой <img decoding=$» />$» />$» />$» />$» />

Потому что эта точка делит его на две равные части?

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

Объясните, как именно совершён переход от интеграла по $[-\pi,\pi]$к сумме (или разности) интегралов по $[-\pi,0]$и $[0,\pi]$.

Исключительно по аналогии, да и тут на форуме видел такой способ.

Не совсем понял — решение ошибочное?

Re: Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)
09.02.2017, 10:20

Заслуженный участник

Doctor в сообщении #1191002 писал(а):
Потому что эта точка делит его на две равные части?
Doctor в сообщении #1191002 писал(а):
Исключительно по аналогии
, да и тут на форуме видел такой способ.

Ну, мне понятно, что » вдумчивого раскуривания» учебника в Вашем случае не было.
Я даже не буду говорить, верное ли решение. Даже если оно верное (?), Вы его не понимаете. Задача решена не тогда, когда написаны какие-то рассуждения и получен правильный ответ, а когда этот ответ строго доказан и поэтому не может вызывать сомнений.
Рассуждение по аналогии не является корректным способом рассуждения в математике (во всяком случае, до тех пор, пока аналогия не подкреплена логикой).

Давайте решать с начала. Последуйте вот этому совету:

Mikhail_K в сообщении #1191000 писал(а):

$[-\pi,\pi]$

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения (с модулем). А что дальше?

Интеграл от модуля

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Я тут осознал ,что не умею раскрыть интеграл(Определенный) от модуля .
Как это сделать ?

∫ |f(x)| dx = (F(x)*signx) пределы a,b — ? Это всегда верно

Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Интеграл от модуля
Встал такой вопрос будет ли определенный интеграл от -pi до pi |X|=x^2/2 Объясните пожалуйста.

Устранить ошибку отсутствия модуля exeptions при импорте модуля docx
Доброго времени суток! только начал знакомство с питоном, установил pip, pycharm и тд. Вот решил.

Как из одного модуля добраться к языковым переменным другого модуля? (Joomla 2.5)
Хочу сделать регистрацию в модальном окне. Для этого делаю модуль вставки html и вставляю форму.

ПММ AEG. Нужна ремонтная документашка и прошивка силового модуля и модуля индикации
F55402VI0P 911676002 j24_cac01_02z003.dax 117384831 computime code: ELED046 ELECTROLUX CODE.

2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349
Тогда уж sign f(x). Иначе бессмыслица.
215 / 63 / 25
Регистрация: 30.04.2013
Сообщений: 865
Записей в блоге: 10
Вобщем для ∫ |f(x)| dx = F(x) пределы a,b
Ответом будет F(|a|)+F(|b|) верно ?
2525 / 1751 / 152
Регистрация: 11.08.2012
Сообщений: 3,349

Лучший ответ

Сообщение было отмечено cmath как решение

Решение

Нет. И не так тоже. |f(x)|=f(x)*sign f(x). Нужно разбить отрезок [a;b] на участки знакопостоянства (там, где sign f(x) = const). На каждом таком участке, если f(x) <0, то берем интеграл от -f(x) и, соответственно, получим первообразную -F(x), если f(x) >0, то F(x). Ну и нуль нам не интересен. Итого получим, F(x) * sign f(x). Что, заметьте, отличается от |F(x)| = F(x) * sign F(x). В качестве примера можно взять x 3 на участке от -1 до 1. Получим |x 4 /4| на [-1;1] (и ответ 0) и мой результат: -x 4 /4, если x на [-1;0) и x 4 /4 на [0;4). И ответ 1/2. В правильности моего ответа можно легко убедиться, нарисовав соответствующий рисунок.

Добавлено через 3 минуты

ЦитатаСообщение от Qazan Посмотреть сообщение

Ответом будет F(|a|)+F(|b|) верно

Если не ошибаюсь (не проверял), то контр примером к этому должна служить синусоида на достаточно большом интервале, скажем, от 0 до 4 пи.

Добавлено через 1 минуту

ЦитатаСообщение от cmath Посмотреть сообщение

Если не ошибаюсь

Не ошибаюсь. Так и есть.

Добавлено через 6 минут
Конечный ответ получим в виде суммы:

Метка: интеграл от модуля

$\DeclareMathOperator$ 1. Линейность интеграла. Если функции $f$ и $g$ интегрируемы на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, а числа $\alpha, \beta \in \mathbb $, то
$$\int\limits_a^b \lbrack\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\rbrack\,dx = \alpha\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx + \beta\int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Это свойство получено нами ранее при доказательстве интегрируемости линейной комбинации.

2. Аддитивность интеграла. Пусть числа $b < a$. Зададим точки $a = x_> x_ > \ldots > x_ = b,$ выберем точки $\xi_ \in \lbrack x_, x_\rbrack$ и составим сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_.$ Заметим, что в этой сумме все $\Delta x_ < 0.$ Ясно, что эту сумму можно получить как интегральную сумму на $\lbrack b, a\rbrack,$ только с противоположным знаком. Это приводит к следующему определению.

Определение. Пусть $b < a$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack b, a\rbrack.$ Тогда по определению полагаем
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = -\int\limits_b^a f\left(x\right)\,dx.$$
Далее, для каждой функции $f$, определенной в точке $a$, полагаем по определению

$$\int\limits_a^a f\left(x\right)\,dx = 0.$$

Теорема. Пусть $a, b, c$ — произвольные точки на действительной прямой. Если функция $f$ интегрируема на наибольшем из отрезков с концами в двух из этих точек, то она интегрируема также и на двух других отрезках, и справедливо равенство
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx.$$

Пусть, например, $a < c < b$ и функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда, по доказанному ранее свойству 4, она интегрируема на отрезках $\lbrack a, c\rbrack$ и $\lbrack c, b\rbrack.$ Возьмем произвольное разбиение $a = x_ < x_ < \ldots < x_= b$, такое, что $c$ является одной из точек деления. Выберем промежуточные точки $\xi_$ и рассмотрим интегральную сумму $\displaystyle\sigma = \sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_$. Если $c = x_$, то эту сумму разобьем на две: $\displaystyle\sigma = \sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_ + \sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_$. При $d(\Pi) \to 0$ первая сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx$, вторая — к $\displaystyle\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма $\sigma$ стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получим требуемое равенство.
Пусть теперь $c < a < b$. Тогда, по уже доказанному,
$$\int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx + \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$$
Отсюда следует
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx-\int\limits_c^a f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^c f\left(x\right)\,dx + \int\limits_c^b f\left(x\right)\,dx$$
и теорема доказана полностью.

3. Интеграл от модуля. Пусть функция $f$ интегрируема на отрезке $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\left|\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx\right| \leqslant \int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right| \,dx.$$

Действительно, интегрируемость модуля интегрируемой функции доказана ранее. Докажем неравенство. Для этого выберем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack.$ Тогда для интегральных сумм будем иметь следующее неравенство:
$$\left|\sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_\right| \leqslant \sum\limits_^ \left|f\left(\xi_\right)\right|\Delta x_.$$
При стремлении к нулю диаметра разбиения интегральная сумма под знаком модуля в левой части стремится к к $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$, а сумма справа стремится к $\displaystyle\int\limits_a^b \left|f\left(x\right)\right|\,dx$. Переходя к пределу при $d(\Pi) \to 0$, получаем требуемое неравенство для интегралов.

4. Монотонность интеграла. Пусть функции $f$ и $g$ интегрируемы на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$ и $f\left(x\right)\leqslant g\left(x\right)$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack.$ Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant \int\limits_a^b g\left(x\right)\,dx.$$

Действительно, возьмем произвольное разбиение отрезка $\lbrack a, b\rbrack$ и выберем промежуточные точки $\xi_$. Тогда $f\left(\xi_\right)\leqslant g\left(\xi_\right) \left(i = 0, 1, \ldots, n-1\right)$. Умножая эти неравенства на $\Delta x_ > 0$ и складывая, получим
$$\sum\limits_^ f\left(\xi_\right)\Delta x_\leqslant\sum\limits_^ g\left(\xi_\right)\Delta x_.$$
Отсюда, устремляя к нулю диаметр разбиения, получаем требуемое неравенство.

Следствие 1. Пусть $f$ — неотрицательная интегрируемая функция на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$. Тогда
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \geqslant 0.$$

Следствие 2. Если интегрируемая функция $f$ строго положительна на $\lbrack a, b\rbrack \left(a < b\right)$, то и $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx >0.$$

Действительно, в силу критерия Лебега , найдется точка $x_\in\lbrack a, b\rbrack$, в которой функция непрерывна . Поскольку $f\left(x_0\right) > 0$, то найдется такое $\delta > 0$, что $\displaystyle f\left(x\right) > \fracf\left(x_0\right)$ для всех $x \in \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack.$ Выберем отрезок $\lbrack\alpha, \beta\rbrack \subset \left(x_0-\delta, x_0 + \delta\right) \cap \lbrack a, b\rbrack, a\leqslant\alpha < \beta\leqslant b$.Тогда, в силу свойства аддитивности интеграла, получим $$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \int\limits_a^\alpha f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx + \int\limits_\beta^b f\left(x\right)\,dx.$$ Первый и третий интегралы справа неотрицательны в силу следствия, а для второго интеграла, учитывая неравенство $\displaystyle f\left(x\right) \geqslant \frac f\left(x_0\right)$, из свойства монотонности интеграла получим $$\int\limits_\alpha^\beta f\left(x\right)\,dx \geqslant \int\limits_\alpha^\beta \fracf\left(x_0\right)\,dx = \fracf\left(x_0\right)\left(\beta-\alpha\right) > 0.$$
Таким образом, $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx > 0$.

Следствие 3. Пусть функция $f$ интегрируема на $\lbrack a, b\rbrack$ и $m \leqslant f\left(x\right) \leqslant M$ для всех $x \in \lbrack a, b\rbrack$. Тогда
$$ \begin\labelm\left(b-a\right) \leqslant \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx \leqslant M\left(b-a\right)\end.$$

Это следствие сразу вытекает из свойства монотонности интеграла.

Замечание. В условиях следствия 3 найдется такое число $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$, что
$$\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu\left(b-a\right).$$

Действительно, положим $\displaystyle\mu = \frac<\left(b-a\right)>\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx$. Тогда, по следствию 3, $m \leqslant \mu \leqslant M$.

Отметим, что при $a > b$ в такой формулировке это замечание остается в силе, в то время как знаки неравенств в $\eqref$ меняются на противоположные.

Следствие 4. Если функция $f$ непрерывна на $\lbrack a, b\rbrack$, то найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что
$$ \int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = f\left(\xi\right)\left(b-a\right).$$

Действительно, пусть $m$ и $M$ соответственно нижняя и верхняя грани функции $f$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$, они достигаются в силу первой теоремы Вейерштрасса. По уже доказанному, найдется точка $\mu \in \lbrack m, M\rbrack$, такая, что $\displaystyle\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx = \mu \left(b-a\right)$. По теореме Больцано-Коши о промежуточном значении, найдется такая точка $\xi \in \lbrack a, b\rbrack$, что $f\left(\xi\right) = \mu.$

Замечание. Следствие 4 иногда называют теоремой о среднем значении. Оно тесно связано с теоремой Лагранжа, которую также называют теоремой о среднем значении в дифференциальном исчислении.

Примеры решения задач

Данные примеры читателю рекомендуется решить самому в качестве тренировки.

  1. Оценить интеграл $\displaystyle\int\limits_^ <2\pi>\frac>>$.
    Решение Оценим подынтегральную функцию:
    $$-1 \leqslant \sin \leqslant 1 \Rightarrow$$
    $$3 \leqslant 5 + 2\sin \leqslant 7 \Rightarrow$$
    $$\sqrt \leqslant \sqrt<5 + 2\sin> \leqslant \sqrt \Rightarrow$$
    $$\frac<\sqrt> \leqslant \frac>> \leqslant \frac<\sqrt>.$$
    Отсюда и из монотонности интеграла следует, что
    $$\int\limits_0^ <2\pi>\frac<\sqrt> \leqslant \int\limits_0^<2\pi>\frac>>\leqslant\int\limits_0^ <2\pi>\frac<\sqrt>.$$
    Таким образом,
    $$\frac<2\pi><\sqrt> \leqslant \int\limits_0^<2\pi>\frac>>\leqslant\frac<2\pi><\sqrt>.$$
  2. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx$.
    Решение
    Из аддитивности интеграла
    $$\int\limits_0^2 \left|1-x\right|\,dx = \int\limits_0^1 \left|1-x\right|\,dx + \int\limits_1^2 \left|1-x\right|\,dx =$$ $$= \int\limits_0^1 \left(1-x\right)\,dx + \int\limits_1^2 \left(x-1\right)\,dx = \int\limits_0^1 \,dx-\int\limits_0^1 x \,dx + \int\limits_1^2 x \,dx-\int\limits_1^2 \,dx =$$ $$= 1-0-\left.\frac\right|_0^1 + \left.\frac\right|_1^2-(2-1) = 1-\frac+ 0 + \frac-\frac-1 = 1.$$
  3. Найти определенный интеграл $\displaystyle\int\limits_0^3 \frac\,dx$
    Решение $$\int\limits_0^3 \frac\,dx = \int\limits_0^3 \frac<\left(x^4 -1\right) + 1>\,dx =$$ $$= \int\limits_0^3 \frac<\left(x^2-1\right)\left(x^2 + 1\right) + 1>\,dx = \int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac\right)\,dx.$$
    Воспользовавшись свойством линейности интеграла, получим
    $$\int\limits_0^3 \left(x^2-1 + \frac\right)\,dx = \int\limits_0^3 x^2 \,dx-\int\limits_0^3 \,dx + \int\limits_0^3 \frac=$$ $$= \left.\frac\right|_0^3-(3-0) + \left.\arctg\right|_0^3 = 9-0-3+ \arctg-\arctg =$$ $$=6 + \arctg.$$
  4. Не вычисляя интегралов, определить какой из них больше: $\displaystyle\int\limits_2^3 e^\sin\,dx$ или $\displaystyle\int\limits_2^3 e^\sin\,dx$.
    Решение Сравним подынтегральные функции. Пусть $f\left(x\right) = e^\sin$, $g\left(x\right) = e^\sin$.
    $$f\left(x\right)-g\left(x\right) = e^\sin-e^\sin = \sin\left(e^-e^\right) =$$ $$= e^\sin\left(1-e^\right).$$
    На промежутке $\lbrack 2, 3\rbrack$ функции $\sin$ и $e^$ принимают положительные значения (поскольку синус на $\lbrack 0, \pi\rbrack$ положительный). Значит нам достаточно сравнить с нулем выражение $1-e^$. Поскольку на $\lbrack 2, 3\rbrack$ $x^2 > x$, то $-x^2 + x < 0$, а значит $e^< 1$. $1-e^> 0$, из чего следует, что $f\left(x\right) > g\left(x\right)$.
    Ответ:
    $$\int\limits_2^3 e^\sin\,dx > \int\limits_2^3 e^\sin\,dx.$$
  5. Найти среднее значение функции на данном отрезке: $\sin$, $\displaystyle 0 \leqslant x \leqslant \frac<\pi>$.
    Решение Воспользуемся четвертым следствием из свойства монотонности интеграла. Средним значением функции $f\left(x\right)$ на отрезке $\lbrack a, b\rbrack$ называется число $\displaystyle\mu = \frac<\left(b-a\right)>\int\limits_a^b f\left(x\right)\,dx.$
    Из этого следует:
    $$\mu = \frac<\left(\frac<\pi>-0\right)> \int\limits_0^<\frac<\pi>> \sin\,dx = \left.-\frac<\pi>\cos\right|_0^<\frac<\pi>> = -\frac<\pi>(0-1) = \frac<\pi>.$$
    Ответ: $\displaystyle\frac<\pi>.$

Смотрите также

  1. Тер-Крикоров А. М., Шабунин М. И. Курс математического анализа: Учеб. пособие для вузов. – 3-е изд., исправл. / А. М. Тер-Крикоров, М. И. Шабунин. – Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 672 с. — С. 326-332.
  2. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : учебник для вузов: В 3 т. Т. 1. Дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной / Л. Д. Кудрявцев. — 5-е изд., перераб. и доп. — Москва: Дрофа, 2003. — 703 с. — С. 570-582.
  3. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: учеб. пособие для ун-тов и пед. ин-тов. Т. 2 / Г. М. Фихтенгольц. — 5-е изд., стереотип. — Москва: Физматгиз, 1970.- 800 с. — С. 108-116.

Сложные интегралы

Данная статья завершает тему неопределенных интегралов, и в неё включены интегралы, которые я считаю достаточно сложными. Урок создан по неоднократным просьбам посетителей, которые высказывали пожелания, чтобы на сайте были разобраны и более трудные примеры.

Предполагается, что читатель сего текста хорошо подготовлен и умеет применять основные приемы интегрирования. Чайникам и людям, которые не очень уверенно разбираются в интегралах, следует обратиться к самому первому уроку – Неопределенный интеграл. Примеры решений, где можно освоить тему практически с нуля. Более опытные студенты могут ознакомиться с приемами и методами интегрирования, которые в моих статьях еще не встречались.

Какие интегралы будут рассмотрены?

Сначала мы рассмотрим интегралы с корнями, для решения которых последовательно используется замена переменной и интегрирование по частям. То есть, в одном примере комбинируются сразу два приёма. И даже больше.

Затем мы познакомимся с интересным и оригинальным методом сведения интеграла к самому себе. Данным способом решается не так уж мало интегралов.

Третьим номером программы пойдут интегралы от сложных дробей, которые пролетели мимо кассы в предыдущих статьях.

В-четвертых, будут разобраны дополнительные интегралы от тригонометрических функций. В частности, существуют методы, которые позволяют избежать трудоемкой универсальной тригонометрической подстановки.

И в заключение рассмотрим интеграл от корня из дроби, в числителе и знаменателе которой находятся линейные функции.

Конечно, название урока не совсем точно, будут и не сказать, что сильно сложные интегралы. Тем не менее, крепких орешков предостаточно. Запланировано довольно много примеров, поэтому поехали.

Последовательная замена переменной и интегрирование по частям

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция представляет собой арктангенс, под которым находится кубический корень. Первая же мысль, которая приходит в голову – избавиться бы от этого корня. Данный вопрос решается путем замены переменной, сама техника замены специфична, и она подробно рассмотрена на уроке Интегралы от иррациональных функций. Проведем замену:

После такой замены у нас получится вполне симпатичная вещь:

Осталось выяснить, во что превратится . Навешиваем дифференциалы на обе части нашей замены:

И само собой раскрываем дифференциалы:

На чистовике решение кратко записывается примерно так:

В результате замены получен знакомый тип интеграла, который интегрируется по частям:

(1) Выносим за скобки. К оставшемуся интегралу применяем прием, который рассмотрен в первых примерах урока статьи Интегрирование некоторых дробей.

(2) В подынтегральной функции почленно делим числитель на знаменатель.

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла. В последнем интеграле сразу подводим функцию под знак дифференциала.

(4) Берём оставшиеся интегралы. Обратите внимание, что в логарифме можно использовать скобки, а не модуль, так как .

(5) Проводим обратную замену, выразив из прямой замены «тэ»:

Студенты-мазохисты могут продифференцировать ответ и получить исходную подынтегральную функцию, как только что это сделал я. Нет-нет, я-то в правильном смысле выполнил проверку =)

Как видите, в ходе решения пришлось использовать даже больше двух приемов решения, таким образом, для расправы с подобными интегралами нужны уверенные навыки интегрирования и не самый маленький опыт.

На практике, конечно же, чаще встречается квадратный корень, вот три примера для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Данные примеры однотипны, поэтому полное решение в конце статьи будет только для Примера 2, в Примерах 3-4 – одни ответы. Какую замену применять в начале решений, думаю, понятно. Почему я подобрал однотипные примеры? Часто встречаются в своем амплуа. Чаще, пожалуй, только что-нибудь вроде .

Но не всегда, когда под арктангенсом, синусом, косинусом, экспонентой и др. функциями находится корень из линейной функции, приходится применять сразу несколько методов. В ряде случаев удается «легко отделаться», то есть сразу после замены получается простой интеграл, который элементарно берётся. Самым легким из предложенных выше заданий является Пример 4, в нём после замены получается относительно несложный интеграл.

Методом сведения интеграла к самому себе

Остроумный и красивый метод. Немедленно рассмотрим классику жанра:

Найти неопределенный интеграл

Под корнем находится квадратный двучлен, и при попытке проинтегрировать данный пример чайник может мучаться часами. Такой интеграл берётся по частям и сводится к самому себе. В принципе не сложно. Если знаешь как.

Обозначим рассматриваемый интеграл латинской буквой и начнем решение:

Интегрируем по частям:

(1) Готовим подынтегральную функцию для почленного деления.

(2) Почленно делим подынтегральную функцию. Возможно, не всем понятно, распишу подробнее:

(3) Используем свойство линейности неопределенного интеграла.

(4) Берём последний интеграл («длинный» логарифм).

Теперь смотрим на самое начало решения:

И на концовку:

Что произошло? В результате наших манипуляций интеграл свёлся к самому себе!

Приравниваем начало и конец:

Переносим в левую часть со сменой знака:

А двойку сносим в правую часть. В результате:

Константу , строго говоря, надо было добавить ранее, но приписал её в конце. Настоятельно рекомендую прочитать, в чём тут строгость:

Примечание: Более строго заключительный этап решения выглядит так:

Таким образом:

Константу можно переобозначить через . Почему можно переобозначить? Потому что всё равно принимает любые значения, и в этом смысле между константами и нет никакой разницы.
В результате:

Подобный трюк с переобозначением константы широко используется в дифференциальных уравнениях. И там я буду строг. А здесь такая вольность допускается мной только для того, чтобы не путать вас лишними вещами и акцентировать внимание именно на самом методе интегрирования.

Найти неопределенный интеграл

Еще один типовой интеграл для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Разница с ответом предыдущего примера будет!

Если под квадратным корнем находится квадратный трехчлен, то решение в любом случае сводится к двум разобранным примерам.

Например, рассмотрим интеграл . Всё, что нужно сделать – предварительно выделить полный квадрат:
.
Далее проводится линейная замена, которая обходится «без всяких последствий»:
, в результате чего получается интеграл . Нечто знакомое, правда?

Или такой пример, с квадратным двучленом:
Выделяем полный квадрат:
И, после линейной замены , получаем интеграл , который также решается по уже рассмотренному алгоритму.

Рассмотрим еще два типовых примера на приём сведения интеграла к самому себе:
– интеграл от экспоненты, умноженной на синус;
– интеграл от экспоненты, умноженной на косинус.

В перечисленных интегралах по частям придется интегрировать уже два раза:

Найти неопределенный интеграл

Подынтегральная функция – экспонента, умноженная на синус.

Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

В результате двукратного интегрирования по частям интеграл свёлся к самому себе. Приравниваем начало и концовку решения:

Переносим в левую часть со сменой знака и выражаем наш интеграл:

Готово. Попутно желательно причесать правую часть, т.е. вынести экспоненту за скобки, а в скобках расположить синус с косинусом в «красивом» порядке.

Теперь вернемся к началу примера, а точнее – к интегрированию по частям:

За мы обозначили экспоненту. Возникает вопрос, именно экспоненту всегда нужно обозначать за ? Не обязательно. На самом деле в рассмотренном интеграле принципиально без разницы, что обозначать за , можно было пойти другим путём:

Почему такое возможно? Потому что экспонента превращается сама в себя (и при дифференцировании, и при интегрировании), синус с косинусом взаимно превращаются друг в друга (опять же – и при дифференцировании, и при интегрировании).

То есть, за можно обозначить и тригонометрическую функцию. Но, в рассмотренном примере это менее рационально, поскольку появятся дроби. При желании можете попытаться решить данный пример вторым способом, ответы обязательно должны совпасть.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Перед тем как решать, подумайте, что выгоднее в данном случае обозначить за , экспоненту или тригонометрическую функцию? Полное решение и ответ в конце урока.

И, конечно, не забывайте, что большинство ответов данного урока достаточно легко проверить дифференцированием!

Примеры были рассмотрены не самые сложные. На практике чаще встречаются интегралы, где константа есть и в показателе экспоненты и в аргументе тригонометрической функции, например: . Попутаться в подобном интеграле придется многим, частенько путаюсь и я сам. Дело в том, что в решении велика вероятность появления дробей, и очень просто что-нибудь по невнимательности потерять. Кроме того, велика вероятность ошибки в знаках, обратите внимание, что в показателе экспоненты есть знак «минус», и это вносит дополнительную трудность.

На завершающем этапе часто получается примерно следующее:

Даже в конце решения следует быть предельно внимательным и грамотно разобраться с дробями:

Интегрирование сложных дробей

Потихоньку подбираемся к экватору урока и начинаем рассматривать интегралы от дробей. Опять же, не все они суперсложные, просто по тем или иным причинам примеры были немного «не в тему» в других статьях.

Продолжаем тему корней

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе под корнем находится квадратный трехчлен плюс за пределами корня «довесок» в виде «икса». Интеграл такого вида решается с помощью стандартной замены.

Замена тут проста:

Смотрим на жизнь после замены:

(1) После подстановки приводим к общему знаменателю слагаемые под корнем.
(2) Выносим из-под корня.
(3) Числитель и знаменатель сокращаем на . Заодно под корнем я переставил слагаемые в удобном порядке. При определенном опыте шаги (1), (2) можно пропускать, выполняя прокомментированные действия устно.
(4) Полученный интеграл, как вы помните из урока Интегрирование некоторых дробей, решается методом выделения полного квадрата. Выделяем полный квадрат.
(5) Интегрированием получаем заурядный «длинный» логарифм.
(6) Проводим обратную замену. Если изначально , то обратно: .
(7) Заключительное действие направлено на прическу результата: под корнем снова приводим слагаемые к общему знаменателю и выносим из-под корня .

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Здесь к одинокому «иксу» добавлена константа, и замена почти такая же:

Единственное, что нужно дополнительно сделать – выразить «икс» из проводимой замены:

Полное решение и ответ в конце урока.

Иногда в таком интеграле под корнем может находиться квадратный двучлен, это не меняет способ решения, оно будет даже еще проще. Почувствуйте разницу:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Краткие решения и ответы в конце урока. Следует отметить, что Пример 11 является в точности биномиальным интегралом, метод решения которого рассматривался на уроке Интегралы от иррациональных функций.

Интеграл от неразложимого многочлена 2-й степени в степени

(многочлен в знаменателе)

Более редкий, но, тем не менее, встречающий в практических примерах вид интеграла.

Найти неопределенный интеграл

В знаменателе подынтегральной функции находится неразложимый на множители квадратный двучлен. Подчеркиваю, что неразложимость на множители является существенной особенностью. Если многочлен раскладывается на множители, то всё намного понятнее, например:
– и далее применяется стандартный метод неопределенных коэффициентов.

Но вернёмся к примеру со счастливым номером 13 (честное слово, не подгадал). Этот интеграл тоже из разряда тех, с которыми можно изрядно промучиться, если не знаешь, как решать.

Решение начинается с искусственного преобразования:

Как почленно разделить числитель на знаменатель, думаю, уже все понимают.

Полученный интеграл берётся по частям:

Для интеграла вида ( – натуральное число) выведена рекуррентная формула понижения степени:
, где – интеграл степенью ниже.

Убедимся в справедливости данной формулы для прорешанного интеграла .
В данном случае: , , используем формулу:

Как видите, ответы совпадают.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. В образце решения дважды последовательно использована вышеупомянутая формула.

Если под степенью находится неразложимый на множители квадратный трехчлен, то решение сводится к двучлену путем выделения полного квадрата, например:

Далее следует «безболезненная» линейная замена и получается знакомый интеграл .

Что делать, если дополнительно в числителе есть многочлен? В этом случае используется метод неопределенных коэффициентов, и подынтегральная функция раскладывается в сумму дробей. Но в моей практике такого примера не встречалось ни разу, поэтому я пропустил данный случай в статье Интегралы от дробно-рациональной функции, пропущу и сейчас. Если такой интеграл все-таки встретится, смотрите учебник – там всё просто. Не считаю целесообразным включать материал (даже несложный), вероятность встречи с которым стремится к нулю.

Интегрирование сложных тригонометрических функций

Прилагательное «сложный» для большинства примеров вновь носит во многом условный характер. Начнем с тангенсов и котангенсов в высоких степенях. С точки зрения используемых методов решения тангенс и котангенс – почти одно и тоже, поэтому я больше буду говорить о тангенсе, подразумевая, что продемонстрированный прием решения интеграла справедлив и для котангенса тоже.

На уроке Интегралы от тригонометрических функций мы разобрали интеграл от тангенса в квадрате. На уроке Как вычислить площадь фигуры? в примере 10 фигурировал тангенс в кубе. В том примере для нахождения интеграла от тангенса в кубе мы применяли тригонометрическую формулу . Интеграл от тангенса в четвертой, пятой степени (редко в более высоких степенях) решается с помощью этой же формулы!

Найти неопределенный интеграл

Идея решения подобных интегралов состоит в том, чтобы с помощью формулы «развалить» исходный интеграл на несколько более простых интегралов:

(1) Готовим подынтегральную функцию к применению формулы.
(2) Для одного из множителей используем формулу
(3) Раскрываем скобки и сразу же используем свойство линейности неопределенного интеграла.
(4) В первом интеграле используем метод подведения функции под знак дифференциала. Во втором интеграле еще раз используем формулу , в данном случае .
(5) Берём все три интеграла и получаем ответ.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения. Для котангенса существует аналогичная формула: . Полное решение и ответ в конце урока.

Если возникли затруднения или недопонимание, следует вернуться к уроку Интегралы от тригонометрических функций.

На вышеупомянутом уроке мы рассматривали универсальную тригонометрическую подстановку для решения определенного вида интегралов от тригонометрических функций. Недостаток универсальной тригонометрической подстановки заключается в том, что при её применении часто возникают громоздкие интегралы с трудными вычислениями. И в ряде случаев универсальной тригонометрической подстановки можно избежать!

Рассмотрим еще один канонический пример, интеграл от единицы, деленной на синус:

Найти неопределенный интеграл

Здесь можно использовать универсальную тригонометрическую подстановку и получить ответ, но существует более рациональный путь. Я приведу полное решение с комментами к каждому шагу:

(1) Используем тригонометрическую формулу синуса двойного угла .
(2) Проводим искусственное преобразование: В знаменателе делим и умножаем на .
(3) По известной формуле в знаменателе превращаем дробь в тангенс.
(4) Подводим функцию под знак дифференциала.
(5) Берём интеграл.

Пара простых примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Указание: Самым первым действием следует использовать формулу приведения и аккуратно провести аналогичные предыдущему примеру действия.

Найти неопределенный интеграл

Ну, это совсем простой пример.

Полные решения и ответы в конце урока.

Думаю, теперь ни у кого не возникнет проблем с интегралами:
и т.п.

В чём состоит идея метода? Идея состоит в том, чтобы с помощью преобразований, тригонометрических формул организовать в подынтегральной функции только тангенсы и производную тангенса . То есть, речь идет о замене: . В Примерах 17-19 мы фактически и применяли данную замену, но интегралы были настолько просты, что дело обошлось эквивалентным действием – подведением функции под знак дифференциала.

Аналогичные рассуждения, как я уже оговаривался, можно провести для котангенса.

Существует и формальная предпосылка для применения вышеуказанной замены:

Сумма степеней косинуса и синуса – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, например:

для интеграла – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число.

! Примечание: если подынтегральная функция содержит ТОЛЬКО синус или ТОЛЬКО косинус, то интеграл берётся и при отрицательной нечётной степени (простейшие случаи – в Примерах № 17, 18).

Рассмотрим пару более содержательных заданий на это правило:

Найти неопределенный интеграл

Сумма степеней синуса и косинуса : 2 – 6 = –4 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число, значит, интеграл можно свести к тангенсам и его производной:

(1) Преобразуем знаменатель.
(2) По известной формуле получаем .
(3) Преобразуем знаменатель.
(4) Используем формулу .
(5) Подводим функцию под знак дифференциала.
(6) Проводим замену . Более опытные студенты замену могут и не проводить, но все-таки лучше заменить тангенс одной буквой – меньше риск запутаться.

Далее берётся простой интеграл и проводится обратная замена.

Найти неопределенный интеграл

Это пример для самостоятельного решения.

Держитесь, начинаются чемпионские раунды =)

Зачастую в подынтегральной функции находится «солянка»:

Найти неопределенный интеграл

В этом интеграле изначально присутствует тангенс, что сразу наталкивает на уже знакомую мысль:

Искусственное преобразование в самом начале и остальные шаги оставлю без комментариев, поскольку обо всем уже говорилось выше.

Пара творческих примеров для самостоятельного решения:

Найти неопределенный интеграл

Найти неопределенный интеграл

Да, в них, конечно, можно понизить степени синуса, косинуса, использовать универсальную тригонометрическую подстановку, но решение будет гораздо эффективнее и короче, если его провести через тангенсы. Полное решение и ответы в конце урока

У многих читателей могло сложиться впечатления, что я немного подустал. Отнюдь. За окном февральский ветер – самая атмосфера для лекций. Естественно, данная страничка создана не за один день, я успел несколько раз побриться, регулярно кушаю и так далее. К тому же, загружать студентов – удовольствие бесконечное =). …Шутка! На самом деле моя миссия – разгружать посетителей сайта. Вагонами.

Переходим к заключительному пункту познавательного путешествия в мир сложных интегралов:

Интеграл от корня из дроби

Интеграл, который мы рассмотрим, встречается достаточно редко, но я буду очень рад, если единственный пример данного параграфа вам поможет.

Корнями всё начиналось, корнями и закончится. Рассмотрим неопределенный интеграл:
, где – числа. Руководствуясь законом подлости, считаем, что все эти числа коэффициенты не равны нулю. Это уже не смешно, так обычно и бывает.

В подынтегральной функции у нас находится корень, а под корнем – дробь, в числителе и знаменателе которой располагаются линейные функции.

Метод стар – нужно избавиться от корня. Стар и уныл, но сейчас станет веселее, поскольку придется проводить громоздкую замену.

Замена, с помощью которой мы гарантированно избавимся от корня, очевидна:
, при этом , т. к. корень чётный.

Теперь нужно выразить «икс» и найти, чему равен дифференциал .

Теперь найдем дифференциал:

Зачем были эти нелепые скучные телодвижения?

Я вывел готовые формулы, которыми можно пользовать при решении интеграла вида !

Формулы замены таковы:

Это было ни в коем случае не хвастовство, просто я не смог быстро найти эти формулы в близлежащей литературе и Сети – оказалось проще вывести. Да и может быть кто-нибудь для реферата возьмет.

Опять – двадцать пять, заключительный пример:

Найти неопределенный интеграл

В данном примере:

Еще куда ни шло, могло всё оказаться значительно хуже. Такой интеграл, кстати, уже фигурировал в Примере 13. Интегрируем по частям:

Проведем обратную замену. Если изначально , то обратно:

Некоторым страшно, а я это продифференцировал, ответ верный!

Иногда встречаются интегралы вида , , но это нужно быть либо слишком умным либо попасть под раздачу. Идея та же – избавиться от корня, причем во втором случае, как все догадались, следует проводить подстановку и самостоятельно выводить, чему будет равняться дифференциал .

Теперь вам практически любой интеграл по силам, успехов!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение:

Проведем замену:

Интегрируем по частям:

Пример 3: Ответ:

Пример 4: Ответ:

Пример 6: Решение:

Интегрируем по частям:

Таким образом:

В результате:

Пример 8: Решение:
Дважды интегрируем по частям и сводим интеграл к себе:

Таким образом:

Пример 10: Решение:

Проведем замену:

Пример 11: Решение:

Замена:

Пример 12: Решение:

Замена:

Пример 14: Решение:

Дважды используем рекуррентную формулу

Пример 16: Решение:

Пример 18: Решение:

Используем формулу приведения: и формулу двойного угла: .

Пример 19: Решение:

Пример 21: Решение:
–3 – 3 = –6 – целое отрицательное ЧЁТНОЕ число

Пример 23: Решение:

Пример 24: Решение:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

© Copyright mathprofi.ru, Александр Емелин, 2010-2024. Копирование материалов сайта запрещено

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *