Что такое биквадратное уравнение
Перейти к содержимому

Что такое биквадратное уравнение

  • автор:

БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ

от лат. bis , дважды, и quadratum , квадрат. Уравнение, в котором наибольшая степень неизвестного есть четвертая.

Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русский язык, с означением их корней.- Михельсон А.Д. , 1865 .

БИКВАДРАТНОЕ уравнение

(от лат. bis — дважды, и quadratum — квадрат). Уравнение, в котором неизвестный не выше чем в четвертой степени.

Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка.- Чудинов А.Н. , 1910 .

биквадра́тное уравнение

(см. би. + квадрат) мат. частный случай уравнения четвертой степени: ах4 + bх2 + с = о, решение которого сводится к решению квадратного уравнения подстановкой у = х2.

Новый словарь иностранных слов.- by EdwART, , 2009 .

биквадратное уравнение

[ см. би… + квадратный ] – мат. частный случай уравнения четвёртой степени: ax4 + bx2 + с=0, решение которого сводится к решению квадратного уравнения подстановкой y = x2

Большой словарь иностранных слов.- Издательство «ИДДК» , 2007 .

Полезное

Смотреть что такое «БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ» в других словарях:

  • БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — (от би. и лат. quadratus квадратный) алгебраическое уравнение вида ax4 + bx2 + c = 0. Его решение приводится к решению квадратного уравнения подстановкой y = x2 … Большой Энциклопедический словарь
  • биквадратное уравнение — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN biquadratic equationfourth power equation … Справочник технического переводчика
  • биквадратное уравнение — (от би. и лат. quadratus квадратный), алгебраическое уравнение вида ax4 + bx2 + с = 0. Его решение приводится к решению квадратного уравнения подстановкой y = х2. * * * БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ (от лат. bi дву(х) и… … Энциклопедический словарь
  • Биквадратное уравнение — Термин Биквадратное уравнение может означать: уравнение четвёртой степени вида , где заданные комплексные числа и . Подстановкой сводится к квадратному уравнению относительно . Такой переход от одной неизвестной величины к другой… … Википедия
  • биквадратное уравнение (мат.) — — [http://slovarionline.ru/anglo russkiy slovar neftegazovoy promyishlennosti/] Тематики нефтегазовая промышленность EN biquadratic equation … Справочник технического переводчика
  • БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — уравнение вида где а, b, с заданные комплексные числа, причем Подстановкой сводится к квадратному уравнению … Математическая энциклопедия
  • Биквадратное уравнение — (от Би. и лат. quadratus квадратный) уравнение вида ах4 + bx2 +с = 0. Подстановкой х2 = у решение Б. у. приводится к решению квадратного уравнения (См. Квадратное уравнение) … Большая советская энциклопедия
  • БИКВАДРАТНОЕ УРАВНЕНИЕ — (от 6и. и лат. quadratus квадратный), алгебр. ур ние вида ax4+ax2+с=0. Его решение приводится к решению квадратного ур ния подстановкой у =x2 … Естествознание. Энциклопедический словарь
  • биквадратное уравнение — матем. Частный случай уравнения четвёртой степени, в котором отсутствуют нечётные степени … Словарь многих выражений
  • Уравнение четвертой степени — Уравнение четвёртой степени в математике алгебраическое уравнение вида: . Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любом значении… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Решение биквадратных уравнений

Уравнение вида ax 4 + bx 2 + с = 0, где a, b, c – некоторые числа, причем a ≠ 0, называется биквадратным.

Для его решения нужно использовать способ замены переменной. Введем новую переменную t = x 2 . Тогда x 4 = t 2 и исходное уравнение будет равносильно квадратному уравнению: at 2 + bt + с = 0.

Android app on Google Play

Значения корней квадратного уравнения мы уже умеем находить. По известным значениям t, решая уравнения x 2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения.

Если t 2 = t корней не имеет.

Если Нахождение корней биквадратного уравнение, то Нахождение корней биквадратного уравнение.

Таким образом, решение биквадратного уравнения сводится к решению нескольких квадратных уравнений.

Калькуляторы для решение примеров и задач по математике

Лучшие математические приложения для школьников и их родителей, студентов и учителей. Подробнее .

Пример 1. Решить уравнение x 4 — 17x 2 + 16 = 0.

Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x 2 => x 4 = t 2 , перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x 4 — 17x 2 + 16 = 0 t 2 — 17t + 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена: a = 1, b = -17, c = 16,

D = b 2 — 4ac = (-17) 2 — 4*1*16 = 289-64 = 225 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4-17x^2+16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x 2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решение биквадратного уравнения x^4-17x^2+16=0

Таким образом, исходное уравнение имеет 4 действительных корня.

Пример 2. Решить уравнение 9x 4 + 32x 2 — 16 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x 2 => x 4 = t 2 , перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

9x 4 + 32x 2 — 16 = 0 9t 2 + 32t — 16 = 0

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена. У нас a = 9, b = 32, c = -16.

Так как b = 32, то есть b делится на 2 (

= 16), вычислим дискриминант D1:

дискриминант квадратного трехчлена

. Cледовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

По найденным значениям t, решая уравнения x 2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение 9x^4+32x^2-16=0

Первое уравнение x 2 = -4 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня x =

Пример 3. Решить уравнение x 4 + 3x 2 — 10 = 0.

Решение.
Исходное уравнение является биквадратным. Сделав замену переменной t = x 2 => x 4 = t 2 , перейдем к эквивалентному исходному квадратному уравнению:

x 4 + 3x 2 — 10 = 0 t 2 + 3t — 10 = 0

Вычислим дискриминант полученного квадратного трехчлена: a = 1, b = 3, c = -10,

D = b 2 — 4ac = 3 2 — 4*1*(-10) = 9+40 = 49 > 0, следовательно, уравнение имеет два действительных корня.

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

По найденным значениям t, решая уравнения x 2 = t, найдем корни исходного биквадратного уравнения:

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

Первое уравнение x 2 = -5 корней не имеет, а второе, а значит, и исходное, имеет два действительных корня .

Решить биквадратное уравнение x^4+3x^2-10=0

Ответ: .

Биквадратные уравнения

Биквадратное уравнение — уравнение, которое можно привести к виду:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

Для решения биквадратных уравнений x 2 заменяется на любую другую букву, например, на y, то есть:

если x 2 = y, то ax 4 + bx 2 + c = ay 2 + by + c = 0.

Следовательно, относительно y, уравнение является квадратным и решается по формуле корней квадратного уравнения, а затем вычисляются корни биквадратного уравнения, если они есть.

Пример. Решить уравнение:

x 4 — 10x 2 + 9 = 0.

Решение: Заменяем x 2 на y, чтобы получить квадратное уравнение:

y 2 — 10y + 9 = 0.

D = b 2 — 4ac = (-10) 2 — 4 · 1 · 9 = 100 — 36 = 64, D > 0.

как решать биквадратное уравнение

y1 = (10 + 8) : 2 = 9,

y2 = (10 — 8) : 2 = 1.

Теперь надо решить уравнения:

x 2 = 9 и x 2 = 1.

1) x 2 = 9; x1 = 3, x2 = -3;

2) x 2 = 1; x3 = 1, x4 = -1.

Ответ: 3, -3, 1, -1.

Биквадратные уравнения

Для нахождения корней и, собственно, решения подобных уравнений нужно будет воспользоваться способом замены переменной, то есть заменить одну неизвестную переменную на другую.

В нашем случае мы заменим не просто букву x, а x 2 на любую другую букву*. Например, заменим на букву t и тогда у нас получится квадратное уравнение, которое будет проще решать:

*в качестве буквы, на которую будем заменять x 2 , можно использовать любые буквы, кроме тех, которые уже были использованы в уравнении. Таким образом мы не сможем заменить x 2 на x. Плюс, если уравнение будет дано в общем виде (например, ax 4 + bx 2 + с = 0) , то для замены нельзя будет использовать буквы a, b и c.

После замены сразу следует задать условие, которое должно выполняться. А именно, что переменная, на которую мы заменили x 2 должна быть неотрицательна. То есть для буквы t мы зададим условия t ≥ 0. Это важно, чтобы в дальнейшем не ошибиться с ответом.

Затем получившееся квадратное уравнение можно решать как обычное квадратное и, найдя его корни, исключить лишние и произвести обратную замену.

Рассмотрим несколько примеров:

1. Нужно решить уравнение:

x 4 — 26x 2 + 25 = 0

Для его решения нужно заменить x 2 на другую букву. Заменим на t и получим новое уже квадратное уравнение:

t 2 — 26t + 25 = 0, причем t ≥ 0

Дальше находим дискриминант нового уравнения:

D = b 2 — 4ac = (-26) 2 — 4 · 1 · 25 = 676 — 100 = 576

D > 0, а значение имеет корни.

11.png

Найдём корни уравнения:

22.png

Оба корня получились неотрицательны, а значит они оба подходят для обратной подстановки:

Извлечём корни из обеих частей уравнений поменьше:

33.png

*При извлечении корня из четных степеней переменных появляется модуль и это важно, так как могут иногда засчитать за ошибку, если не написать его и не раскрыть правильно. Соответственно и ответ можно получить не полный.

Раскрываем модуль и затем можно писать ответ:

В ответ пойдут все найденные нами в ходе решения числа.

2. Нужно решить уравнение:

Для его решения нужно опять заменить x 2 на другую букву. Заменим на этот раз на букву m и получим новое уже квадратное уравнение:

m 2 – m — 6 = 0, причём m ≥ 0.

Дальше опять находим дискриминант нового уравнения:

D = b 2 — 4ac = (-1) 2 — 4 · 1 · (-6) = 1 + 24= 25

D > 0, а значение уравнение имеет корни.

44.png

15.png

Один корень (m 2 = -2) получился меньше 0, значит мы исключаем его и возьмём оставшийся (m 1 = 3):

Извлечём корни из обеих частей уравнений поменьше:

Раскрываем модуль и затем можно писать ответ. Так как из тройки корень «целиком» не извлекается, то так и оставляем:

В ответ пойдут все найденные нами в ходе решения числа.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *