Что такое евклидово расстояние между векторами
Перейти к содержимому

Что такое евклидово расстояние между векторами

  • автор:

Как рассчитать евклидово расстояние в Excel

Как рассчитать евклидово расстояние в Excel

Евклидово расстояние между двумя векторами, A и B, рассчитывается как:

Евклидово расстояние = √ Σ(A i -B i ) 2

  • Σ — греческий символ, означающий «сумма».
  • A i — i -е значение в векторе A
  • B i — i -е значение в векторе B

Чтобы вычислить евклидово расстояние между двумя векторами в Excel, мы можем использовать следующую функцию:

= SQRT ( SUMXMY2 (RANGE1, RANGE2)) 

Вот что делает формула в двух словах:

  • SUMXMY2 находит сумму квадратов разностей соответствующих элементов диапазона 1 и диапазона 2.
  • SQRT извлекает квадратный корень из этой суммы квадратов разностей.

Конечный результат, если евклидово расстояние между двумя диапазонами.

Например, предположим, что у нас есть следующие два вектора, A и B, в Excel:

Мы можем использовать следующую функцию для вычисления евклидова расстояния между двумя векторами:

Евклидово расстояние в Excel

Евклидово расстояние между двумя векторами оказывается равным 12,40967 .

Обратите внимание, что эта функция будет включать только полные парные наблюдения при вычислении евклидова расстояния.

Например, последние две строки в столбце A не будут включены в расчет евклидова расстояния между следующими двумя векторами:

Евклидово расстояние в примере Excel

Евклидово расстояние между двумя векторами оказывается равным 5,656854 .

9.26. Python – Метод math.hypot() – расстояние между векторами (евклидова норма)

Python – это универсальный язык, который можно использовать для решения самых разных задач. В этой статье мы рассмотрим метод math.hypot() – в частности, как его можно использовать для вычисления расстояния между векторами (евклидова норма). Независимо от того, являетесь ли вы новичком в Python или опытным программистом, мы надеемся, что эта статья будет для вас информативной и полезной.

Метод

hypot() – возвращает евклидову норму, sqrt(x*x + y*y).

Евклидова норма, также известная как евклидово расстояние или просто расстояние между двумя векторами, является мерой того, насколько далеко они находятся друг от друга. Евклидова норма определяется как квадратный корень из суммы квадратов разностей между компонентами двух векторов.

Например, если у нас есть два вектора a и b с компонентами (a1, a2,…, an) и (b1, b2,…, bn), то евклидова норма их разности определяется следующим образом:

||a-b|| = sqrt((a1-b1)^2 + (a2-b2)^2 +… + (an-bn)^2) 

Пифагорейская теорема гласит, что в треугольнике с прямым углом квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов двух других сторон. Эту теорему можно использовать для доказательства того, что ||a+b|| = ||a||| + ||b|| для любых двух векторов a и b.

Синтаксис

Ниже приведен синтаксис метода hypot() в Python:

hypot(x, y) 

Примечание. Эта функция недоступна напрямую, поэтому нам нужно импортировать математический модуль, а затем нам нужно вызвать эту функцию, используя математический статический объект.

Параметры

x – должно быть числовое значение.

y – должно быть числовое значение.

Возвращаемое значение

Функция возвращает евклидову норму, sqrt(x*x + y*y).

Пример

В следующем примере показано использование метода hypot() в Python.

#!/usr/bin/python import math print "hypot(3, 2): ", math.hypot(3, 2) print "hypot(-3, 3): ", math.hypot(-3, 3) print "hypot(0, 2): ", math.hypot(0, 2) 

Когда приведённый выше код выполнится, он даст следующий результат:

hypot(3, 2): 3.60555127546 hypot(-3, 3): 4.24264068712 hypot(0, 2): 2.0 

Оглавление

  • 1. Python – Самоучитель для начинающих
  • 2. Python – Обзор
  • 3. Python – Установка среды
  • 4. Python – Базовый синтаксис
  • 4.1. Python – Аргументы командной строки
  • 5. Python – Типы переменных
  • 6. Python – Основные операторы
  • 6.1. Python – Арифметические операторы
  • 6.2. Python – Операторы сравнения
  • 6.3. Python – Операторы присваивания: примеры
  • 6.4. Python – Побитовые операторы
  • 6.5. Python – Логические операторы
  • 6.6. Python – Операторы членства
  • 6.7. Python – Операторы идентификации
  • 6.8. Python – Приоритет операторов
  • 7. Python – Условные операторы
  • 7.1. Python – Условие if
  • 7.2. Python – Условные операторы if. else и elif
  • 7.3. Python – Вложенные операторы if
  • 8. Python – Циклы
  • 8.1. Python – Цикл while
  • 8.2. Python – Цикл for
  • 8.3. Python – Вложенные циклы
  • 8.4. Python – Оператор break
  • 8.5. Python – Оператор continue
  • 8.6. Python – Оператор pass
  • 9. Python – Числа
  • 9.1. Python – Метод abs()
  • 9.2. Python – Метод ceil()
  • 9.3. Python – Метод cmp()
  • 9.4. Python – Метод exp()
  • 9.5. Python – Метод fabs()
  • 9.6. Python – Метод floor()
  • 9.7. Python – Метод log()
  • 9.8. Python – Метод log10()
  • 9.9. Python – Метод max()
  • 9.10. Python – Метод min()
  • 9.11. Python – Метод modf()
  • 9.12. Python – Метод pow()
  • 9.13. Python – Метод round()
  • 9.14. Python – Метод sqrt()
  • 9.15. Python – Метод choice()
  • 9.16. Python – Метод randrange()
  • 9.17. Python – Метод random()
  • 9.18. Python – Метод seed()
  • 9.19. Python – Метод shuffle()
  • 9.20. Python – Метод uniform()
  • 9.21. Python – Метод acos()
  • 9.22. Python – Метод asin()
  • 9.23. Python – Метод atan()
  • 9.24. Python – Метод atan2()
  • 9.25. Python – Метод cos()
  • 9.26. Python – Метод hypot()
  • 9.27. Python – Метод sin()
  • 9.28. Python – Метод tan()
  • 9.29. Python – Метод degrees()
  • 9.30. Python – Метод radians()

Расстояние Евклида (Euclid distance)

Расстояние Евклида — это геометрическое расстояние в многомерном пространстве. Оно вычисляется по теореме Пифагора.

Пусть в n-мерном пространстве заданы две точки: p ( p 1 , p 2 , . . . p n ) и q ( q 1 , q 2 , . . . q n ) . Тогда евклидово расстояние между ними вычисляется по следующей формуле:

d p q = √ n ∑ i = 1 ( p i − q i ) 2 ,

Например, расстояние Евклида между двумя точками a ( x a , y a , z a ) и b ( x b , y b , z b ) в 3-мерном пространстве ( X Y Z ) рассчитывается по формуле:

d a b = √ ( x a − x b ) 2 + ( y a − y b ) 2 + ( z a − z b ) 2 .

Евклидово расстояние является наиболее понятной и интерпретируемой мерой различия или близости объектов, представленных векторами признаков в многомерном пространстве, отражая интуитивные свойства расстояния между точками. Поэтому оно широко используется в анализе данных в качестве критерия для объединения наблюдений в классы и кластеры, оценки ошибок в предсказательной аналитике, а также в инструментах визуализации (например, картах Кохонена).

Евклидово расстояние

В математике термин евкли́дово простра́нство может обозначать один из сходных и тесно связанных объектов:

В обоих случаях, n -мерное евклидово пространство обычно обозначается \mathbb E^n, хотя часто используется не вполне приемлемое обозначение  \mathbb R^n .

 \mathbb R^n

1. Конечномерное вещественное векторное пространство с введённым на нём (положительно определенным) скалярным произведением, порождающим норму:

\|x\|=\sqrt<\langle x, x \rangle></p>
<p>» width=»» height=»» />,</p><div class='code-block code-block-14' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 14joomlaumnik -->
<script src=

в простейшем случае (евклидова норма):

\|x\|=\sqrt<x_1^2+x_2^2+\dots +x_n^2></p>
<p> = \sqrt^n x_k^2>» width=»» height=»» /></p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15joomlaumnik -->
<script src=

x=(x_1,x_2,\dots, x_n)

где (в евклидовом пространстве всегда можно выбрать базис, в котором верен именно этот простейший вариант).

Иначе говоря евклидово пространство — конечномерное гильбертово пространство.

 \mathbb R^n

2. Метрическое пространство, которое является конечномерным векторным пространством над полем вещественных чисел с евклидовой метрикой, введённой по формуле:

d(x,y)=\sqrt<(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2+\dots+(x_n-y_n)^2></p>
<p> = \sqrt^n (x_k-y_k)^2>» width=»» height=»» />,</p>
<p>где <img decoding=и  y=(y_1,y_2,\dots, y_n)\in \mathbb R^n, то есть с функцией расстояния, порождаемой описанной выше нормой.

Связанные определения

  • Под евклидовой метрикой может пониматься метрика, описанная выше, а также соответствующая риманова метрика.
  • Под локальной евклидовостью обычно имеют в виду то, что каждое касательное пространство риманова многообразия есть евклидово пространство со всеми вытекающими свойствами, например, возможностью (по гладкости метрики) ввести в малой окрестности точки координаты, в которых расстояние выражается (с точностью до какого-то порядка) в соответствии с описанным выше.
  • Метрическое пространство называют локально евклидовым также если возможно ввести на нём координаты, в которых метрика будет евклидовой (в смысле второго определения) всюду (или хотя бы на конечной области) — каковым, например, является риманово многообразие нулевой кривизны.

Примеры

Наглядными примерами евклидовых пространств могут служить пространства:

  • \R^1 размерности 1 (вещественная прямая)
  • \R^2 размерности 2 (евклидова плоскость)
  • \R^3
  • Евклидово пространство можно считать современной интерпретацией и обобщением (т.к. оно допускает размерности больше трех) классической (Евклидовой) геометрии.

Можно привести и несколько более абстрактные примеры:

  • пространство вещественных полиномов степени, не превосходящей n , со скалярным произведением, определенным как интеграл произведения по конечному отрезку (или по всей прямой, но с быстро спадающей весовой функцией)
  • вообще пространство всех линейных комбинаций конечного набора вещественных функций
  • пространство состояний конечномерной квантовой системы (или конечномерное подпространство полного пространства состояний) в вещественном представлении.

Не считается обычно евклидовым физическое 4-мерное пространство-время, т.к. основная метрика на нём, в соответствии с обычным в современной физике взглядом, псевдоевклидова. Хотя при желании евклидовская метрика может быть формально введена на нём тем или иным образом (если не пренебрегать гравитацией — то локально), что бывает иногда полезно, однако она не лоренц-инвариантна, что здесь очень сильно снижает её ценность с точки зрения современной физики.

См. также

  • Гильбертово пространство
  • Псевдоевклидово пространство
  • Евклидова геометрия
  • Евклидово поле

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Евклидова плоскость
  • Евклида алгоритм

Полезное

Смотреть что такое «Евклидово расстояние» в других словарях:

  • Евклидово пространство — (также Эвклидово пространство) в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3. В современном понимании, в более общем… … Википедия
  • Расстояние в математике — Метрическим пространством называется множество, в котором определено расстояние между любой парой элементов. Содержание 1 Формальное определение 2 Обозначения 3 Примеры … Википедия
  • Евклидово пространство — пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. Упрощенно можно определить евклидово пространство, как пространство на плоскости или в трехмерном объеме, в которых заданы прямоугольные (декартовы) координаты, а… … Начала современного естествознания
  • Расстояние Чебышева — Определение Расстоянием Чебышева между n мерными числовыми векторами называется максимум модуля разности компонент этих векторов. Расстояние Чебышева задает метрику на . Это расстояние нередко обозначается через , поскольку является частным… … Википедия
  • Евклидово пространство — (в математике) пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии (См. Евклидова геометрия). В более общем смысле Е. п. называется n мepное Векторное пространство, в котором возможно ввести некоторые специальные… … Большая советская энциклопедия
  • ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО — [по имени др. греч. математика Евклида (Eukleides; 3 в. до н. э.)] пространство, в т. ч. многомерное, в к ром возможно ввести координаты х1. хп так, что расстояние р (М ,М ) между точками М (х1 . х n) и М (х 1 , . xn ) может быть… … Большой энциклопедический политехнический словарь
  • Метод главных компонент — (англ. Principal component analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях,… … Википедия
  • Истинное ортогональное разложение — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
  • Метод Главных Компонент — (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих областях, таких как… … Википедия
  • Преобразование Карунена-Лоэва — Метод Главных Компонент (англ. Principal components analysis, PCA) один из основных способов уменьшить размерность данных, потеряв наименьшее количество информации. Изобретен К. Пирсоном (англ. Karl Pearson) в 1901 г. Применяется во многих… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *