Что такое приращение вектора
Перейти к содержимому

Что такое приращение вектора

  • автор:

Что такое приращение вектора

Бесплатная рассылка Азы математики

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Векторная алгебра с нуля!

Бесплатная рассылка Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Фото книг по физике

Приращение

Рассмотрим какую-нибудь переменную величину (векторную или скалярную, неважно). Обозначим ее х. Пусть в какой–то момент времени ее значение будет х1. С течением времени произошло изменение этой величины (она же у нас переменная), и в другой момент времени ее значение стало х2. Договорились называть приращением переменной величины разность между ее конечным и начальным значениями, то есть приращение — это х2 − х1. Теперь – внимание! Если это приращение поддается измерению нашими приборами, то есть оно может быть чрезвычайно малым, но все–таки больше, чем погрешность прибора, и мы сумеем заметить это изменение, то это приращение обозначается греческой буквой Δ (дельта). Говорят, что Δ — это пусть хоть и очень малое, но конечное изменение (приращение). Если же изменение настолько мало, что не фиксируется приборами, то говорят о бесконечно малом изменении. Такое изменение принято обозначать буквой d . Итак,

Δх — конечное приращение переменной величины х,

dx – бесконечно малое приращение переменной величины х.

Еще dx называют дифференциалом от переменной величины х. С этим понятием нам в дальнейшем часто придется встречаться.

Приведу пару примеров. Пусть начальная температура вещества плюс 5 градусов, а конечная минус 20 градусов. Найдем приращение температуры. Очевидно,

Δ t = − 20 − 5 = − 25 градусов.

Еще пример. Вектор а с течением времени изменяет свою величину и направление. В начальный момент времени он имел значение а0, а спустя какой–то промежуток времени Δt, его значение стало а1. Найдем приращение вектора.

По определению Δа = а1а0. Обратите внимание, приращение вектора а, то есть Δа — тоже вектор, так как он получен в результате вычитания одного вектора из другого. Рисунок 16 иллюстрирует данный пример.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

© Коллекция подготовительных материалов для успешной сдачи ЕГЭ по физике от Н. Чернова 2012 — 2015 | Контакты: , +79212839427, (81554) 65780

Что такое приращение вектора

Бесплатная рассылка Азы математики

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Векторная алгебра с нуля!

Бесплатная рассылка Векторная алгебра с нуля!

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

Фото книг по физике

Векторы. Задачи. Равен ли модуль приращения вектора приращению модуля вектора

Задача 6. Равен ли модуль приращения вектора приращению модуля вектора? Показать, что
r · dr = r · dr.

Запутанно? Ничего, сейчас разберемся. Пусть дан изменяющийся со временем вектор r. С течением времени он изменился на Δ r, то есть Δ r — это приращение вектора r и тоже является вектором. Его модуль равен | Δ r |. Еще раз, | Δ r | — это модуль приращения вектора r. Далее, вектор r кроме направления, характеризуется еще и модулем. Модуль вектора r равен r. При изменении вектора может изменяться и его модуль. Изменение (приращение) модуля вектора r равно Δ r.

Так вот, равен ли модуль приращения вектора | Δ r | приращению модуля вектора Δ r?

Оказывается, что в общем случае | Δ r | ≠ Δ r. Представим себе, что вектор r вращается против хода часовой стрелки по окружности, центром которой является начало вектора (рис. 22). При этом величина вектора не меняется (его модуль является радиусом окружности), то есть

r = const, следовательно, изменение модуля вектора равно нулю (Δ r = 0). В то же время, при определенном положении вектора (на рисунке этому положению соответствует вектор r1) его изменение не равно нулю, то есть Δ r ≠ 0.
Следовательно, и | Δ r | ≠ 0.

Однако в некоторых частных случаях возможна ситуация, когда | Δ r | = Δ r. Например, в рассмотренном примере, вектор r при вращении занимает то же положение, в котором он был в начальный момент времени. В этом случае изменения вектора не произошло, то есть Δr = 0. Тогда | Δ r | = Δ r = 0. Рассмотрим еще пример.

Вектор b изменился по величине и стал вектором b1. Изменения направления вектора не произошло (смотри рис. 23). В этом случае | Δ b | = Δ b.

И еще. Пусть дан вектор а. Определим приращение, модуль приращения вектора и приращение модуля этого вектора при изменении его направления на противоположное (рис. 24).

Чтобы найти приращение вектора надо из его конечного значения вычесть начальное. Начальное значение вектора равно а, конечное его значение равно − а. Тогда изменение вектора Δа = (− а)а = − 2а. Модуль изменения вектора, очевидно, равен 2а, то есть | Δа | = 2а.

Найдем изменение модуля вектора: Δа = | − а| − | а | = а – а = 0. Этого и следовало ожидать, ведь изменилось только направление вектора, а модуль остался прежним, его изменения не произошло.

А теперь покажем, что скалярное произведение вектора на его бесконечно малое изменение равно произведению модуля вектора на бесконечно малое изменение этого модуля.

Имеем вектор r, его бесконечно малое изменение будет dr. Найдем скалярное произведение этих двух векторов.

r · dr = r · dr · Cos α, где r — модуль вектора r, dr — модуль вектора dr, α — угол между направлениями векторов r и dr.

Присмотримся внимательнее к произведению dr · Cos α. Из рис. 25 видно, что
dr · Cos α = АВ. Но при бесконечно малом изменении вектора r АВ практически равно АС. Величина же АС есть ни что иное, как изменение длины вектора r.

Как обозначают бесконечно малое изменение модуля вектора? Ее обозначают тоже dr. Вот так! И модуль бесконечно малого изменения вектора обозначают dr, и бесконечно малое изменение модуля вектора r тоже обозначают dr! Ничего не поделаешь: так уж сложилось в литературе. Что нужно для того, чтобы не запутаться? Во-первых, знать векторную алгебру. Во-вторых, просто быть внимательным при работе с формулами. Кстати, добросовестные авторы всегда указывают, что в той или иной формуле следует понимать под dr.

Итак, dr · Cos α = dr. Здесь, dr в левой части формулы — это модуль бесконечно малого вектора перемещеня, то есть dr = | dr |. А вот dr в правой части формулы — это бесконечно малое изменение модуля вектора r, то есть dr = d | r |.

Итак, мы показали, что r · dr = r · dr. К конечному изменению вектора r эта формула не применима. То есть, в общем случае r · Δ r не равно
r · Δ r. Как видно из рисунка в этом случае АВ и АС могут сильно различаться,
и dr · Cos α не будет равно dr.

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

© Коллекция подготовительных материалов для успешной сдачи ЕГЭ по физике от Н. Чернова 2012 — 2015 | Контакты: , +79212839427, (81554) 65780

Приращение вектора равно приращению модуля вектора?

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Тоесть приращение скалярного значения равно приращению векторного значения?
Ещё написано, что приращение «r» это приращение модуля «r», если это так то проблема решена.
Значить приращение вектора это приращение его модуля, а это значить приращение вектора невозможно или это пишется по другому.

На фотке тема касается справа двух переменных.

Изображения
Лучшие ответы ( 1 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Найти: а) приращение радиус-вектора dr; б) модуль приращения |dr|; в) приращение модуля d|r|
Начальное значение радиус-вектора равно r1 = 4i—3j+12k, конечное — r2 = —i — 2j + 2k. Найти: а).

Найти выражение для: вектора скорости; вектора ускорения; модуля радиус-вектора
Товарищи, помогите пожалуйста решить. Радиус-вектор материальной точки задается выражением.

Составляющие вектора обязательно равны проекциям вектора?
Составляющие вектора обязательно равны проекциям вектора?

8 класс. Равна ли длина вектора силы реакции опоры длине вектора силы тяжести? На наклонной поверхности
Такой возник детский вопрос. Как найти силу реакции опоры, если известна масса и угол наклона.

2356 / 1463 / 125
Регистрация: 20.12.2011
Сообщений: 2,223

Лучший ответ

Сообщение было отмечено как решение

Решение

ЦитатаСообщение от Ziya Посмотреть сообщение

Тоесть приращение скалярного значения равно приращению векторного значения?

Думаю надо договорится об обозначениях, чтобы не смешивать понятия.
— модуль вектора r;

— модуль приращения вектора r;

— приращение модуля
Конечно же
И теперь уточните Вашу мысль — о чём Вы спрашиваете.

3. Векторное поле. Приращение векторной функции

Тогда как производная скаляра по произвольному направлению однозначно определяется заданием вектора , поведение векторной функциивблизи некоторой точки пространства описывается тензором, определяемым уравнением

, (3.1)

где составляющие тензора в декартовых координатах выражаются следующим образом:

(3.2)

Иными словами, приращение каждой составляющей векторной функции имеет форму, аналогичную приращению скалярной функции (2.1):

(3.3)

4. Поток вектора через поверхность. Дивергенция. Теорема Гаусса

Прежде всего введем ряд понятий, которые понадобятся не только в данном разделе, но и в дальнейшем. Рассмотрим поле вектора . В произвольной точке этого поля выделим бесконечно малую плоскую площадку, в пределах которой векторостается постоянным по величине и по направлению. С выделенной площадкой связаны направление нормали к ней и направление обхода контура площадки (рис. 4.1).

удем считать, что эти два направления связаны друг с другом таким образом, чтобы положительное направление нормали и направление обхода контура образовывали правовинтовую систему. (Это означает, что при повороте буравчика правой нарезки по направлению обхода контура его острие будет перемещаться вдоль положительной нормали).

Направление нормали будем характеризировать единичным вектором , а саму эту площадку можно обозначить в виде вектора.

Потоком вектора через бесконечно малую площадкуназывается величина

где — значение вектора на площадке,– проекция вектора на направление нормали.

Чтобы определить поток вектора через поверхность конечных размеров нужно разбить её на бесконечно малые площадки и просуммировать потоки через все эти площадки (рис.4.2).

Такое суммирование тождественно с операцией нахождения определенного интеграла по поверхности :

(4.2)

Если вычисляется поток вектора через замкнутую поверхность, то это обстоятельство обозначается кружком у знака интеграла:

(4.3)

Из двух возможных положительных направлений вектора нормали при вычислении потока через замкнутую поверхность будем выбирать в качестве положительного направление внешней нормали к поверхности.

Дивергенция вектора определяется выражением

. (4.4)

В соответствии с этим определением дивергенция векторной функции в произвольной точке пространства вычисляется следующим образом: точка окружается замкнутой поверхностью, по которой берётся поверхностный интеграл вектора. Затем берётся предельное значение отношения интеграла к объему, ограниченному этой поверхностью, когда замкнутая поверхность стягивается к точке.

Из определения дивергенции (4.4) следует, что данная операция инвариантна по отношению к преобразованию координат. Иными словами значение выражения не зависит от выбора системы координат. Вместе с тем, само выражениеможно представить в той или другой системе координат.

В декартовой системе координат имеем

. (4.5)

Из определения дивергенции следует, что поток вектора через поверхность элементарного параллелепипеда, объемом будет

. (4.6)

Формулу, выражающую поток вектора через поверхностьбесконечно малого параллелепипеда, нетрудно обобщить для поверхности произвольной формы и размеров. При этом поверхностный интеграл можно преобразовать в объёмный; в этом заключается содержание одной из важнейших теорем векторного анализа –теоремы Гаусса.

Рассмотрим произвольную замкнутую поверхность . Разобьём ограниченный ею объёмсистемой взаимно перпендикулярных плоскостей на совокупность бесконечно малых кубических элементов.

Вычислим с помощью уравнения (4.6) поток вектора через поверхность каждого кубика, лежащего внутри, и сложим полученные выражения:

(4.7)

Грани всех элементарных кубиков, составляющих в совокупности объём , могут быть разделены на два класса – грани внешние, совпадающие с элементами поверхности, и грани внутренние, ограничивающие смежные кубики друг от друга. Очевидно, что в суммупоток векторачерез каждуювнутреннюю грань войдёт дважды: при подсчёте потока через поверхность кубика, лежащего по одну сторону от этой грани, и при подсчете потока через поверхность кубика, лежащего по другую сторону от неё. Так как нормаль к грани, внешняя по отношению к первому кубику, противоположна нормали к той же грани, внешней по отношению ко второму кубику, то оба потока через эту грань будут иметь противоположные знаки. Следовательно, все члены суммы , относящиеся к внутренним граням, сократятся, и сумма эта сведётся к сумме потоков векторачерез одни лишь внешние грани кубиков, совпадающие с элементами поверхности. Таким образом,оказывается равной потокувекторачерез заданную поверхность:

(4.8)

Последнее выражение представляет собой теорему Гаусса: поток вектора, являющегося непрерывной функцией точки, через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу дивергенции этого вектора по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Те точки поля, в которых , принято называть истоками этого поля, а само значениехарактеризует «интенсивность» истоков. Векторные поля, у которых, называютсясоленоидальными.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *