Что такое точный квадрат
Перейти к содержимому

Что такое точный квадрат

  • автор:

Точные квадраты и кубы

Математика, решение онлайн.

Точные квадраты и кубы

Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число $a=p_^<\alpha_>\times p_^<\alpha_>\times\ldots\times p_^<\alpha_>$ есть точный квадрат, то показатели степеней $\alpha_,\alpha_,\ldots,\alpha_$, четны, а число делителей числа a, равное $(\alpha_+1)(\alpha_+1)\ldots(\alpha_+1)$ нечетно.

Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д.

При работе со степенями целых и натуральных чисел всегда следует иметь в виду, что степень с большим показателем также является и степенью с маленьким показателем: например, а 100 — это одновременно и квадрат пятидесятой степени, и четвертая степень двадцать пятой степени, и пятая степень двадцатой степени, и т.п. Ясно, что показатель степени таким образом можно уменьшить для любого составного числа n, а для простого n это ничего не даст.

При решении задач полезным может оказаться следующее свойство точных квадратов:

Квадрат числа при делении на любое число дает тот же остаток, что и квадрат его остатка.

Действительно, если r — остаток от деления k на b, то k 2 и r 2 дают при делении на b один и тот же остаток: $k^2-r^2=(k-r)(k+r)$, а k-r делится на b.

Например, число k при делении на 6 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, их квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25, а остатки от деления квадратов на 6 — это 0, 1, 4, 3, 4, 1. Таким образом, квадрат числа при делении на 6 не может давать остатков 2 и 5.

Теми же рассуждениями легко получить, что возможные остатки при делении точного квадрата на 3 и на 4 — это 0 или 1.

Пример 1: Является ли число $123^2+345^2+567^2$ точным квадратом?

Ответ: Все три числа в заданной сумме нечетны, следовательно, их квадраты имеют вид 4п+1, так что их сумма имеет вид 4т+3 и поэтому не является точным квадратом.

Пример 2: Является ли число $[50\pi]^2+[100\pi]^2$ точным квадратом?

Ответ: Поскольку числа $[50\pi]$, $[100\pi]$ — это на самом деле 157 и 314, то оба они не делятся на 3, и поэтому их квадраты имеют вид Зn+1, а сама заданная сумма имеет вид 3m+2 и, следовательно, не является точным квадратом

Пример 3: Доказать, что если два числа оба не делятся на 3, то их сумма не является точным квадратом.

Ответ: Так как квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1, то сумма любых двух таких чисел при делении на 3 дает остаток 2, а такое число не может быть точным квадратом.

Материалы по теме:

  • «Целые остатки»
  • Основная теорема арифметики
  • Малая теорема Ферма
  • Признаки делимости на 4, 8, 11 и 25

print1386. Точные квадраты

printТочные квадраты

close

Элементы теории чисел, диофантовы уравнения
Олимпиадные задачи на русском языке

close

24/06/2010 Лето 2010 дорешивание ( 1A)
24/06/2010 Лето 2010 — 1 (A)
18/09/2010 Занятие 2 (E)
27/06/2016 Лето 2016 — 1 (A)
26/09/2019 Соревнование 1 курса ВШЭКН, ВШЭУ (E)
28/06/2023 Лето 2023-2 простые (B)

copy

Ограничения: время – 1s/2s, память – 64MiB Ввод: input.txt или стандартный ввод Вывод: output.txt или стандартный вывод
Послать решение Blockly Посылки Темы Где Обсудить (0)

Целое число `N` называется точным квадратом, если оно является квадратом какого-либо целого числа, то есть существует такое целое `S` , что `N\ =\ S^2` .

Даны целые числа `F` и `L` . Требуется найти количество точных квадратов от `F` до `L` включительно.

Например, от 5 до 25 включительно три точных квадрата – `9\ =\ 3^2` , `16\ =\ 4^2` и `25\ =\ 5^2` .

В первой строке входного файла содержатся два целых числа `F` и `L` ( `0 ≤ F ≤ L ≤ 10^9` ).

Выведите в выходной файл одно искомое число.

Что значит точный квадрат.

например: 3 во второй степени (в квадрате) будет 9. 9 — точный квадрат, а 3 — его квадратный корень. 8 не является точным квадратом, поскольку не имеет квадратного корня.

Остальные ответы

Целое число, квадратный корень которого тоже целое число.

Похожие вопросы

Ваш браузер устарел

Мы постоянно добавляем новый функционал в основной интерфейс проекта. К сожалению, старые браузеры не в состоянии качественно работать с современными программными продуктами. Для корректной работы используйте последние версии браузеров Chrome, Mozilla Firefox, Opera, Microsoft Edge или установите браузер Atom.

Задачка за задачкой

1) Точный квадрат целого числа не может оканчиваться цифрами 2, 3, 7, 8, а также нечётным количеством нулей.

2) Квадрат натурального числа либо делится на 4, либо при делении на 8 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если а – число чётное, то есть а = 2к, то а 2 = 4к 2 – делится на 4.
Если а – число нечётное, то есть а = 2к + 1, то а 2 = (2к+1) 2 = 4 к 2 + 4к + 1 =

= 4к(к+1) + 1 – при делении на 8 даёт остаток 1(одно из чисел к или к+1 окажется четным, т.е. делится на 2).

3) Квадрат натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.
Доказательство:
Если число а кратно 3, значит а = 3к, тогда а 2 = (3к) 2 = 9к 2 — делится на 9.
Если же число а не кратно 3, то оно имеет вид а = 3к ± 1, тогда а 2 = (3к±1) 2 =

= 9 к 2 ± 6к + 1 = 3к (3к±2) + 1 – при делении на 3 даёт остаток 1.
Проверим, удовлетворяет ли число из условия задачи указанным свойствам.
Свойство №1.
Число из условия задачи оканчивается цифрой 9, значит оно обладает свойством №1.
Свойство №2.
1) Проверим делимость на 4. Две последние цифры данного числа – 99, значит оно не делится на 4 .

2) Проверим делимость на 8. Если три последние цифры в записи числа образуют трёхзначное число, кратное 8, то и само число делится на 8. В нашем случае должен получится остаток 1, а значит без остатка должно делится число, на 1 меньшее данного в условии задачи.

Проверим делимость числа 998 на 8 .
998:8=124 (ост 6) — не кратно 8.

Значит, число из условия задачи не делится на 8 с остатком 1.
Свойство №3.
1) Проверим делимость на девять числа 122….999999999.
1+ 2*2+ 3*3+4*4+5*5+6*6+7*7+8*8+9*9= 1+4+9+16+25+36+49+64+81=
=285 — не делится на 9 нацело.
2) Но 285 : 3 = 95, значит и число 122….999999999 делится на 3 без остатка.

Вывод: Число 122….999999999 не является точным квадратом, потому что не обладает свойствам №2 и №3 точного квадрата.

Ответ: число 122….999999999 не является точным квадратом.

1 комментарий:

Уважаемая Ольга, почему Вы решили, что число обязано оканчиваться цифрой 9? В условии задачи не оговаривается порядок цифр, указывается только из каких цифр состоит число и в каком количестве. Здесь решение следующее: Сумма цифр числа равна 285, а значит, число делится на 3, но не делится на 9. Следовательно, такое число не может быть квадратом, да и вообще не может быть никакой точной степенью выше первой. Ответить Удалить

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *