Докажите что число является квадратом натурального числа
Перейти к содержимому

Докажите что число является квадратом натурального числа

  • автор:

Докажите что число является квадратом натурального числа

У натурального числа n есть такие два различных делителя а и b , что ( а – 1)( b + 2) = n – 2.
Докажите, что число 2 n является квадратом натурального числа.

Решение

( а – 1)( b + 2) = n – 2 ⇔ ab – b + 2 a = n . Так как n делится на a и делится на b , то и левая часть полученного равенства делится и на a , и на b . Следовательно, b делится на a , a 2 а делится на b . Второе условие означает, что b ≤ 2 a . Учитывая, что b ≠ a , имеем b = 2 a .
Подставив этот результат в исходное равенство, получим 2 а ² – 2 а + 2 а = n , откуда 2 n = 4 a ².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.3

Решение на Задание 1008 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Макарычев Ю.Н.

Фото ответа 3 на Задание 1008 из ГДЗ по Алгебре за 7 класс: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.

Издатель: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.И. Нешков, С.Б. Суворова, 2013г.

Издатель: А.Г. Мордкович, 2013г.

Издатель: А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. 2015г.

Докажите что число является квадратом натурального числа

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Решение

Представим произведение произвольной пары чисел (a, b ) из данного набора в виде произведения квадрата натурального числа на произведение простых делителей в первых степенях (например, если a = 2 13 ·3 4 ·19³, b = 5 6 ·7 7 ·19, то ab = K ²·2·7, где K = 2 6 ·3²·5³·7³·19²). Сопоставим паре (a, b ) получившийся набор простых делителей. Всевозможных различных пар (a, b ) в наборе из 48 чисел а количество наборов из 10 простых делителей (включая пустой набор) 2 10 = 1024. Так как 1128 > 1024, то найдутся две различные пары (a, b ) и (c, d ) из набора, которым отвечает один и тот же набор ( p 1 , p 2 . p k ) простых делителей (0 ≤ k ≤ 10). Следовательно, abcd – точный квадрат.
Если при этом пары (a, b ) и (c, d ) не имеют общего элемента, то числа a, b, c, d – искомые. Если же общий элемент есть, например b = d , то тогда ac – точный квадрат. Выкинем на время числа a и c из рассмотрения. Тогда мы приходим к набору из 46 чисел, произведение которых имеет не более 10 различных простых делителей. Проведя те же рассуждения, что и выше, и учитывая, что приходим к выводу о существовании двух различных пар чисел (x, y) и ( z, t ) из набора, для которых xyzt – точный квадрат. Если общего элемента у этих пар нет, то x, y, z, t – искомые четыре числа; если же общий элемент есть, например x = t , то yz – точный квадрат. В этом случае искомой четвёркой чисел является (a, c, y, z ).

Замечания

Cр. с задачей 79488.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 49
Год 1986
вариант
Класс 9
задача
Номер 4

Признак квадрата натурального числа?

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Дано натуральное число N. Нужно как-то определить: является
ли это число квадратом натурального числа?
Решение
1. Есть признаки того, что заданное число не является квадратом.
2. например число оканчивается на 2, 3, 7, 8
3. еще если число оканчивается на 0 (но не на два нуля) и .
4. или другой пример: число четное, но на 4 не делится.
Вот последний признак мы и положим в основу
1. берем квадрат простого числа 2 2 , 3 3 , 5 2 , 7 2 , . и делим наше число на эти квадраты. Этот метод напоминает проверку на простоту натурального числа.
2. А может есть что-то более простое?

Лучшие ответы ( 3 )
94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Признак делимости числа на 7
Дано число в виде 10А + В. Если мы умножим это число на 5, то получим другое число. Причем оба.

Первые два числа квадрата
Есть число, где первая цифра например Х. Затем возводим это число в квадрат и получаем, что первые.

Поиск позиции квадрата числа в последовательности
Пытаюсь оптимизировать алгоритм для поиска простых чисел и возник вопрос в создании формулы.

Расставьте в клетках квадрата 10х10 различные натуральные числа
Здравствуйте. Есть задача. Расставьте в клетках квадрата 10х10 различные натуральные числа так.

Эксперт C

27699 / 17316 / 3811
Регистрация: 24.12.2010
Сообщений: 38,979

Лучший ответ

Сообщение было отмечено ili1 как решение

Решение

Можно заметить, что N — 1 = k 2 — 1 = (k-1)(k+1) — то есть является произведением 2-х «почти соседних» чисел. Сам k близок к корню из N. Напрашивается такой конечный алгоритм. Полагаем k = (int)sqrt(N). Если (k-1)(k+1) < N, увеличиваем k, пока это произведение не станет = N-1 (тогда - Yes!) или больше (No!) Ну и наоборот.

Добавлено через 8 часов 33 минуты

ЦитатаСообщение от ili1 Посмотреть сообщение

2. например число оканчивается на 2, 3, 7, 8

Это вы совершенно правильно заметили.
Но почему вы такое особое значение придаете модулярной арифметике по модулю 10? Только потому что у вас десять пальцев? Но самим числам нет до этого никакого дела.
Можно рассмотреть остатки от деления полных квадратов на 3. Возможные значения 0, 1 То есть квадраты в троичной с/с должны оканчиваться на 0 или 1, но никак не на 2. Это дает такую арифметическую прогрессию чисел, НЕ МОГУЩИХ БЫТЬ полными квадратами: 2, 5, 8, 11, 14, 17 .
В 4-ичной с/с-«запрещенными» являются цифры 2 и 3. Еще 2 прогрессии 2, 6, 10, 14, 18. 3, 7, 11, 15 .
для десятичной с/с мы имеем по вашему пункту 1 целых 4 прогрессии: 2, 12, 22. 3, 13, 33. 7, 17, 27. 8, 18, 28.
Это очень похоже на решето Эратосфена. Там тоже из списка всех чисел вычеркиваются прогрессии — числа, делящиеся на очередное простое число.
Удачи!

Заблокирован

Байт,
спасибо. Троичная система счисления это конечно интересно.
Но мы пользуемся десятичной системой счисления. То есть сами
числа задаются в этой системе. И их дополнительный перевод.
как мне кажется не дает большого выигрыша.
А вот формула разности квадратов наводит на мысль поиска числа близкого
к квадратному корню и далее небольшой перебор. что-то не то?

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *