Докажите что выпуклый четырехугольник abcd
Перейти к содержимому

Докажите что выпуклый четырехугольник abcd

  • автор:

371 Докажите, что выпуклый четырехугольник ABCD является параллелограммом, если: a) ∠BAC=∠ACD и ∠BCA=∠DAC; б)AB||CD, ∠A=∠C.

Решебник по геометрии за 8 класс к учебнику Геометрия. 7-9 класс Л.С.Атанасян и др.

Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №371
к главе «Глава V. Четырехугольники. §2. Параллелограмм и трапеция».

430 Докажите, что выпуклый четырехугольник является параллелограммом, если его противоположные углы попарно равны.

Решебник по геометрии за 8 класс к учебнику Геометрия. 7-9 класс Л.С.Атанасян и др.

Решебник по геометрии за 8 класс (Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев, Э.Г.Позняк, И.И.Юдина, 2005 год),
задача №430
к главе «Глава V. Четырехугольники. Дополнительные задачи».

Докажите что выпуклый четырехугольник abcd

Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.

Решение

Пусть отрезок MN , где точки M и N лежат на сторонах AB и CD , разрезает четырёхугольник ABCD на два подобных четырёхугольника. Тогда угол AMN четырёхугольника AMND равен одному из углов четырёхугольника NMBC . С другой стороны, ∠ NMB = 180° – ∠ AMN . Поэтому если
∠ AMN = ∠ NMB , то ∠ NMB = 90°, а если угол AMN равен другому углу четырёхугольника NMBC , то в этом четырёхугольнике есть два угла, составляющих в сумме 180°. Проведя аналогичные рассуждения для угла MND , получаем, что либо AB ⊥ MN и CD ⊥ MN (и тогда
AB || CD ), либо в четырёхугольнике NMBC есть два угла, составляющие в сумме 180°; без ограничения общности можно считать, что один из них – угол BMN . Рассмотрим три случая.
1) ∠ BMN + ∠ MNC = 180°. Тогда BM || CN , а значит, и AB || CD.
2) ∠ BMN + ∠ MBC = 180°. Тогда MN || BC . Поэтому либо AD || MN , либо ND || MA .
3) ∠ BMN + ∠ BCN = 180°. Тогда четырёхугольники NMBC и AMND вписанные. Следовательно,
∠ BCN = 180° – ∠ BMN и ∠ ADN = 180° – ∠ AMN = ∠ BMN , то есть BC || AD .

Замечания

В журнале «Квант» данная задача была в следующей формулировке:
Какие четырёхугольники можно разрезать прямой линией на два подобных между собой четырёхугольника?

Источники и прецеденты использования

журнал
Название «Квант»
год
Год 1970
выпуск
Номер 3
Задача
Номер М12
книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 25
Название Разрезания, разбиения, покрытия
Тема Разрезания, разбиения, покрытия и замощения
параграф
Номер 3
Название Свойства частей, полученных при разрезаниях
Тема Свойства частей, полученных при разрезаниях
задача
Номер 25.019

№371 ГДЗ Атанасян 7-9 класс по геометрии (Геометрия)

Изображение Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) угол BAC = угол ACD и угол BCA = угол DАС; б) АВ || CD, угол A = угол.

Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если: a) угол BAC = угол ACD и угол BCA = угол DАС; б) АВ || CD, угол A = угол C.

*Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания.

*размещая тексты в комментариях ниже, вы автоматически соглашаетесь с пользовательским соглашением

Похожие решебники

Атанасян, Бутузов
Атанасян, Бутузов

Популярные решебники 8 класс Все решебники

Юдовская, Баранов, Ванюшкина
Габриелян, Остроумов, Сладков
Лукашик 7-9 класс
Лукашик, Иванова
Баранова, Афанасьева, Михеева

Изображение учебника

©Reshak.ru — сборник решебников для учеников старших и средних классов. Здесь можно найти решебники, ГДЗ, переводы текстов по школьной программе. Практически весь материал, собранный на сайте — авторский с подробными пояснениями профильными специалистами. Вы сможете скачать гдз, решебники, улучшить школьные оценки, повысить знания, получить намного больше свободного времени.

Главная задача сайта: помогать школьникам и родителям в решении домашнего задания. Кроме того, весь материал совершенствуется, добавляются новые сборники решений.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *