Есть две концентрические сферы между которыми воздух
Перейти к содержимому

Есть две концентрические сферы между которыми воздух

  • автор:

Есть две концентрические сферы между которыми воздух

Задача 11808

Имеются две концентрические металлические сферы радиусами R1 = 3 см и R2 = 6 см. Пространство между сферами заполнено парафином. Заряд Q1 внутренней сферы равен –1 нКл, внешней Q2 = 2 нКл. Найти потенциал φ электрического поля на расстоянии: 1) r1 = 1 см; 2) r2 = 5 см; 3) r3 = 9 см от центра сфер.

Задача 17624

После того, как на проводящую сферу радиуса R = 10 см и массой m = 10 г поместили заряд Q = 3 мкКл, сфера под действием электростатических сил отталкивания разорвалась на большое число осколков одинаковой массы. Определить максимальную скорость vmax, которую может приобрести любой из этих осколков.

Задача 18100

Две тонкие проводящие концентрические сферы, радиусы которых равны R1 и R2 (R1 < R2), имеют потенциалы φ1 и φ2 соответственно. Каковы будут потенциалы сфер, если соединить их проволокой?

Задача 20554

Две металлические концентрические сферы радиусами 15 и 30 см расположены в воздухе. На внутренней сфере распределен заряд –2·10 –8 Кл, а потенциал внешней сферы равен 450 В. Вычислить напряженность и потенциал в точках, удаленных от центра сфер на 10 и 20 см.

Задача 21524

Вычислить поток радиуса-вектора r через сферу радиусом R с центром в начале координат.

База задач ФизМатБанк

Earth curvature of space2 curvature of space1

Для улучшения работы сайта и его взаимодействия с пользователями мы используем файлы cookie. Продолжая работу с сайтом, Вы разрешаете использование cookie-файлов. Вы всегда можете отключить файлы cookie в настройках Вашего браузера.

Есть две концентрические сферы между которыми воздух

В XIX веке английский учёный Майкл Фарадей выдвинул гипотезу, что электрическое и магнитное взаимодействия осуществляются посредством особой среды между ними, поля. Любой заряд `q` изменяет свойства пространства вокруг себя – создаёт вокруг себя поле, а уже это поле действует на другие заряды. Развитие науки и техники показало чрезвычайную плодотворность концепции поля. Вся теория электромагнитных явлений со всеми её приложениями существенным образом основывается на концепции поля. По мнению Эйнштейна, идея поля была самым важным открытием со времён Ньютона.

Идея электрического поля большинству людей кажется некоей абстрактной теоретической концепцией, поскольку электрическое поле (в отличие от поля магнитов) в обыденной жизни, в быту невозможно «почувствовать рукой». К вопросу о том, почему это так, мы вернёмся позже. Пока же обратимся к количественному описанию электростатического поля.

Если в поле точечного заряда `q` поместить на расстоянии `r` пробный точечный заряд `q_1`, то на этот заряд будет действовать сила `|vecF_1|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_1|)/(r^2)`. Если в ту же точку поместить другой пробный заряд `q_2`, то на него заряд со стороны заряда `q` будет действовать другая сила `|vecF_2|=1/(4pi epsilon_0) (|q||q_2|)/(r^2)`. Существенно, однако, что отношение силы, действующей на пробный заряд, к его заряду, `(vecF_1)/(q_1)=(vecF_2)/(q_2)`, останется одним и тем же и будет характеристикой не пробных зарядов, но исходного заряда `q` и местоположения `vecr` точки `A`, в которую мы помещали пробные заряды (см. рис. 1). Эта характеристика называется напряжённостью электрического поля точечного заряда `q` в точке `A`. Напряжённость поля есть векторная величина. Её модуль равен

`|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|)/(r^2)`. (1.3.1)

Если заряд `q` положительный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону от заряда вдоль прямой, соединяющей точечный заряд `q` и точку `A`; если же заряд `q` отрицательный, то вектор `vecE` в точке `A` направлен в сторону к заряду вдоль той же прямой.

Удобным способом учёта векторного характера величины `vecE` и знака заряда `q` является следующий. Пусть `vecr` — вектор, проведённый из точки, в которой расположен заряд `q`, в точку `A`, `|vecr|=r` — длина этого вектора (расстояние между точечным зарядом `q` и точкой `A`). Введём формальный единичный вектор вдоль направления `vecr`, `vece=(vecr)/r`, так что `|vece|=(|vecr|)/r=1` (это не `1` метр!). Тогда вектор напряжённости электрического поля точечного заряда `q` в точке, характеризуемой вектором `vecr`, можно представить в виде

`vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece`. (1.3.1′)

Формулу (1.3.1.) иногда записывают в виде `|vecE|=1/(4pi epsilon_0) (|q|*(+1))/(r^2)`; при этом о напряжённости говорят как о силе, действующей со стороны заряда `q` на некий условный единичный положительный точечный заряд `(+1)` (не заряд в `+1` Кл!). Нужно, впрочем, помнить, что сила и напряжённость электрического поля имеют разную размерность. В системе СИ напряжённость электрического поля измеряется в вольтах на метр (В/м): `1`В/м `=1`Н/`1`Кл.

Принцип суперпозиции. Напряжённость есть векторная величина. Это означает, что если имеются два заряда `q_1` и `q_2` каждый из них в некоторой точке создаёт свои напряжённости поля `vecE_1` и `vecE_2`, то результирующая напряжённость (результирующая сила, действующая на единичный положительный заряд, со стороны обоих зарядов) будет равна векторной сумме

получаемой по правилу параллелограмма (рис. 2) или треугольника.

Аналогично, в случае `N` зарядов:

`vecE=vecE_1+vecE_2+. +vecE_N=sum_(k=1)^N vecE_k`, (1.3.3)

причём векторная сумма вычисляется по правилу многоугольника (либо последовательно несколько раз по правилу параллелограмма).

Введя понятие напряжённости электрического поля, мы каждой точке пространства около заряда `q` (или около системы зарядов) приписываем некоторый вектор `vecE=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2)vece` (в случае системы зарядов нужно ещё вычислить сумму (1.3.3.)), который, в конце концов, позволяет вычислять по формуле `vecF=q^’vecE` силу, действующую на любой другой заряд `q^’`.

Расстояние между точечными зарядами `q_1=+1` нКл и `q_2=-2` нКл равно `d=13` см. Определить напряжённость результирующего электрического поля обоих зарядов в точке, расположенной на расстоянии `r_1=5` см от первого и `r_2=12` см от второго заряда.

Легко заметить, что `r_1^2+r_2^2=d^2`, т. е. треугольник, образованный зарядами и интересующей нас точкой, прямоугольный. Поэтому напряжённости, создаваемые в этой точке отдельными зарядами, перпендикулярны друг другу (рис. 3). Далее, по теореме Пифагора

`E=sqrt(E_1^2+E_2^2)`, где `E_1=1/(4pi epsilon_0) (q_1)/(r_1^2)=3600` В/м и `E_2=1/(4pi epsilon_0) (|q_2|)/(r_2^2)=1250` В/м.

В итоге `E~~3811` В/м.

Электрическое поле равномерно заряженной сферы. Вне равномерно заряженной сферы электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр сферы точечный заряд, равный по величине суммарному заряду сферы (рис. 4, а – б). Нетривиальный факт состоит в том, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю (см. `[2 – 3]`).

Если имеются две концентрические равномерно заряженные сферы, то за пределами обеих сфер поле такое же, какое создавали бы два точечных заряда, равные зарядам сфер и помещённые в их общий центр. В области между сферами внешняя сфера не вносит вклада в напряжённость поля.

Вне равномерно заряженного по объёму шара электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду шара. Последнее легко понять: поле шара можно представить как результирующее поле множества тонких шаровых слоёв («сфер»). О том, каким будет поле внутри шара, см. Пример 8.

Оценить заряд Земли `Q`, если известно, что в среднем вблизи поверхности Земли существует статическое электрическое поле, направленное вниз перпендикулярно поверхности Земли в каждой её точке, напряжённость которого равна `E~~130` В/м. Радиус Земли `R~~6370` км.

Напряжённость электрического поля направлена вниз перпендикулярно поверхности Земли, т. е., к центру Земли. Отсюда можно сделать вывод, что заряд Земли отрицателен. По формуле (1.3.1).

`|Q|=4pi epsilon_0ER^2=(130*(6,37*10^6)^2)/(9*10^9)~~5,9*10^5` Кл, т. е. `~~600` тысяч кулон.

Хотя атмосфера Земли обладает положительным электрическим зарядом, она не вносит вклада в напряжённость электрического поля на поверхности Земли (каждый из её сферических слоёв даёт нулевой вклад в напряжённость поля). Напряжённость поля порядка `130` В/м есть среднее поле вблизи поверхности Земли. При приближении, например, грозовой тучи поле может возрасти в тысячи раз.

Какой максимальный заряд можно сообщить металлическому шарику радиусом `r=1` см, чтобы ещё не происходило пробоя воздуха. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м. (Если напряжённость электрического поля больше этого значения, происходит пробой воздуха – воздух начинает проводить электричество (возникает электрический ток) – и заряд стекает с заряженных тел на другие тела.)

По формуле (1.3.1) получаем `q_(max)=4pi epsilon_0E_»пр»r^2~~0,33*10^(-7)`Кл.

Оценить силу взаимодействия двух шариков радиусом `r=1` см, заряженных до максимально возможного заряда (чтобы ещё не происходило пробоя воздуха вблизи шариков) при расстоянии между центрами шариков `d=10` см. Пробойное поле сухого воздуха `E_»пр»~~3*10^6` В/м.

`f=1/(4pi epsilon_0) (q_(max)^2)/(d^2)=1/(4pi epsilon_0) ((4pi epsilon_0E_»пр»r^2)^2)/(d^2)=(4pi epsilon_0E_»пр»^2r^4)/(d^2)~~10^(-3)` H.

Мы получили весьма малую силу (сила тяжести, действующая на льдинку массой `1` г объёмом примерно в `1 «см»^3`, почти в `10` раз больше). Вот почему, хотя электрические силы обычно считаются большими, заметить их не всегда легко. Реально мы видим лишь электрическое притяжение друг к другу очень лёгких тел (например, листочков бумаги к наэлектризованной расчёске).

Пользуясь тем свойством, что внутри равномерно заряженной сферы напряжённость электрического поля равна нулю, найти напряжённость поля внутри равномерно по объёму заряженного шара радиусом `R` и зарядом `Q`. (К таким практически равномерно по объёму заряженным шарам можно с хорошей точностью отнести, например, атомные ядра.)

Найдём напряжённость поля в какой-нибудь точке `A` на расстоянии `r вне малого шара радиуса $$ r$$ не вносит вклада в напряжённость электрического поля в точке `A`.

Внутренняя область шара радиуса `r` создаёт в точке `A` электрическое поле точно такое же, какое создавал бы помещённый в центр шара точечный заряд, равный по величине суммарному заряду этого шара радиуса `r`. Этот заряд вычислим по формуле `q=(4pi)/3 r^3 rho`, где `rho` — объёмная плотность заряда, равная `rho=Q//((4pi)/3 R^3)`, поэтому `q=Q (r^3)/(R^3)`. Напряжённость поля, создаваемая точечным зарядом `q` на расстоянии `r`, найдём по формуле (1.3.1). В итоге получаем

`vecE(vecr)=1/(4pi epsilon_0) q/(r^2) vece=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r*vece = 1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3)vecr`,

т. е. `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(R^3) r`

при `rR`, разумеется, `|vecE(vecr)|=1/(4pi epsilon_0) Q/(r^2)` — напряжённость поля шара такая же, как от точечного заряда `Q`.

Электрический диполь. Так называется система, состоящая из двух точечных зарядов равных по величине, но противоположных по знаку. Пусть заряды `q_1=-q` и `q_2=+q` в некоторой системе координат характеризуются радиус-векторами `vecr_1` и `vecr_2` (см. рис. 6). Дипольным моментом диполя называется векторная величина `vecp=q_1vecr_1+q_2vecr_2=q(vecr_2-vecr_1)=qvecl`, а величина `l=|vecl|=|vecr_2-vecr_1|` называется плечом диполя.

Два точечных заряда диполя `q_1=e` и `q_2=-e`, где `e=1,6*10^(-19)` Кл, расположены на расстоянии `l=10^(-10)` м друг от друга. Определить напряжённость электрического поля на расстоянии $$ R=10l>>l$$ от центра диполя в направлении оси диполя. Ответ выразить через дипольный момент диполя `p=el`.

`~~e/(4pi epsilon_0) (2Rl)/(R^4) =1/(4pi epsilon_0) (2el)/(R^3)=1/(4pi epsilon_0) (2p)/(R^3)~~2,88*10^8` В/м.

Рассмотрим более сложный пример использования принципа суперпозиции.

По тонкому кольцу радиусом `r` равномерно распределён заряд `q`. Найти напряжённость электрического поля на оси кольца в точке `A`, расположенной на расстоянии `R` от центра (рис. 7).

Напряжённость поля направлена, очевидно, вдоль линии, соединяющей точку `A` и центр кольца, т. е. перпендикулярна плоскости кольца. Рассмотрим малый элемент кольца с зарядом `Deltaq`, который будем рассматривать как точечный. Вклад от него в искомую напряжённость поля есть `DeltaE=k(Deltaq)/(R^2+r^2)cosalpha`, где `k=1//4pi epsilon_0`, `alpha` — угол, под которым из точки `A` виден радиус кольца, `cosalpha=R/(sqrt(R^2+r^2))`. Тогда `DeltaE=k(Deltaq)/((R^2+r^2)^(3//2))R`. Все различные элементы кольца `Deltaq` находятся на одинаковом расстоянии от точки `A`, поэтому вносят одинаковый вклад в результирующую напряжённость электрического поля в этой точке. Сумма вкладов от всех элементов кольца будет равна `E=1/(4pi epsilon_0) (R*q)/((R^2+r^2)^(3//2))`. Заметим, что в предельном случае больших расстояний до точки `A` (или малого радиуса кольца), когда выполняется сильное неравенство $$ R>>r$$ наша формула переходит в формулу `E~~1/(4pi epsilon_0) q/(R^2)` для точечного заряда.

Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости

Вычисление поля в данном случае требует привлечения знаний высшей математики. Без сложных вычислений можно, однако, сделать два следующих утверждения, основываясь лишь на соображениях симметрии, а также на том факте, что густота линий напряжённости пропорциональна величине `vecE` (см. Учебник):

1) Электрическое поле бесконечной равномерно заряженной плоскости перпендикулярно плоскости (рис. 8). Дело в том, что перпендикуляр к плоскости – единственное выделенное направление в задаче. Если бы вектор `vecE` был направлен под некоторым углом `alpha` к плоскости, мы бы ещё спросили себя: «Чем это направление лучше, чем все другие прямые, имеющие тот же угол `alpha` с плоскостью, и направленные вдоль образующих конуса с углом `alpha` при вершине?» Ясно, что ничем не лучше: если плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках, то и любые направления вдоль неё эквивалентны друг другу.

2) Величина электрического поля бесконечной равномерно заряженной плоскости одинакова во всех точках пространства. В самом деле, все точки на плоскости, параллельной нашей заряженной плоскости, эквивалентны друг другу (снова вспоминаем, что наша плоскость бесконечная и заряжена одинаково во всех точках). Это означает, что при движении в плоскости, параллельной нашей равномерно заряженной плоскости, густота линий напряжённости электрического поля не изменяется. Но в силу перпендикулярности вектора `vecE` к плоскости во всех точках, эта густота линий не будет изменяться и при удалении от заряженной плоскости (вне плоскости нет зарядов, на которых могли бы закончиться «силовые» линии). Таким образом, густота линий напряжённости электрического поля будет одинаковой во всех точках пространства, независимо от расстояния до нашей заряженной плоскости. Это эквивалентно тому, что электрическое поле по обе стороны от бесконечной равномерно заряженной плоскости однородно, т. е. одинаково во всех точках обоих полупространств. Разумеется, по разные стороны от заряженной плоскости напряжённости поля направлены в противоположные стороны. В случае положительно заряженной плоскости вектор `vecE` в обоих полупространствах направлен от плоскости, а в случае отрицательно заряженной — к плоскости.

Величина вектора напряжённости `vecE` может быть вычислена по формуле

которую мы приведём без вывода, где `sigma=Deltaq//DeltaS` — поверхностная плотность заряда, `Deltaq` — заряд элемента поверхности площадью `DeltaS`.

Хотя в природе не существует бесконечных равномерно заряженных плоскостей, формула (1.3.4) с успехом используется для расчётов электрических полей заряженных тел в виде больших пластин или просто плоских объектов при небольшом удалении от центральной их части.

Электростатическое поле создаётся двумя бесконечными параллельными плоскостями, заряженными с поверхностными плотностями заряда `sigma_1=-1 «нКл»//»м»^2` и `sigma_2=+1 «нКл»//»м»^2`. Определить напряжённость электрического поля между плоскостями и снаружи.

`|sigma_1|=sigma_2-=sigma`, `|E_1|=|E_2|-=E=sigma//2 epsilon_0`. Далее воспользуемся принципом суперпозиции полей. Между плоскостями напряжённости полей отдельных пластин направлены в одну и ту же сторону (рис. 9), по этому результирующая напряжённость `E_(«in»)=2E=sigma//epsilon_0=113` В/м и направлена от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поля разных плоскостей направлены в противоположные стороны, поэтому результирующая напряжённость поля там `E_(ex)=0`.

Пользуясь принципом суперпозиции, доказать, что напряжённость электрического поля равномерно заряженной полусферической чаши во всех точках плоскости, стягивающей края чаши (как кожа на барабане), перпендикулярна этой плоскости.

Мысленно дополним полусферу ещё одной такой же полусферой так, чтобы получилась целая сфера. Напряжённость поля внутри равномерно заряженной сферы равна нулю. С другой стороны, эта напряжённость складывается из двух напряжённостей – исходной полусферы `vecE` и мысленно добавленной `vecE^’`. Таким образом, имеем равенство `vecE+vecE^’=0`, или `vecE=-vecE^’`. Последнее возможно только в том случае, если углы наклона векторов `vecE` и `vecE^’` к плоскости одинаковы, т. е. равны `90^@` (рис. 10).

Задачи по Физике

21 вне сферы (r R) q . 4 0 r Во всех формулах, приведенных для потенциала заряженной сферы, есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного диэлектрика, окружающего сферу. Потенциал электрического поля, образуемого системой n точечных зарядов в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции электрических полей, равен алгебраической сумме потенциалов 1 , 2 , . n , создаваемых отдельными точечными зарядами q 1 , q 2 . q n : n i . i 1 Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов q 1 , q 2 . q n определяется работой, которую эта система может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой 1 n W 2 i 1 q i i , где i — потенциал поля, создаваемый всеми (n-1) зарядами (за исключением i- го) в точке, где находится заряд q i . Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотношением Е grad . В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой d r , E drr или в скалярной форме E d dr . В случае однородного поля, т.е. поля, напряженность которого в каждой его точке одинакова как по абсолютному значению, так и по направлению, – Е 1 2 , d где 1 и 2 – потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей; d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической силовой линии. Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точечного заряда q из одной точки поля, имеющей потенциал 1 , в другую, имеющую потенциал 2 , равна A q( 1 2 ), или A q E d ,

22
где E – проекция вектора E на направление перемещения; d — перемещение.

В случае однородного поля последняя формула принимает вид А qE cos , где – перемещение; — угол между направлениями вектора E и перемеще- ния . Диполь есть система двух точечных (равных по абсолютному значению и противоположных по знаку) зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга. Электрический момент р диполя есть вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному, равный произведению заряда q на вектор , проведенный от отрицательного заряда к положительному, и называемый плечом диполя, т.е. . р q Диполь называется точечным, если его плечо намного меньше расстояния r

от центра диполя до точки, в которой нас интересует действие диполя (
r), см. рис. 1.

Рис. 1 Напряженность поля точечного диполя:

p
E 1 3 cos 2 ,
4 0 r 2

где р – электрический момент диполя; r – абсолютное значение радиус-вектора, проведенного от центра диполя к точке, напряженность поля в которой нас интересует; — угол между радиус-вектором r и плечом диполя. Напряженность поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя ( =0), находится по формуле

E p ;
2 0 r 3

23 в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его

середины , – по формуле
2
E p .
4 0 r 3

Потенциал поля точечного диполя в точке, лежащей на оси диполя ( =0), составляет

p ,
4 0 r 2

а в точке, лежащей на перпендикуляре к плечу диполя, восстановленном из его

=0.
середины , –
2
Напряженность и потенциал неточечного диполя определяются так же как и
для системы зарядов.
Механический момент, действующий на диполь с электрическим моментом р,
помещенный в однородное электрическое поле с напряженностью Е, –
М рЕ , или М рЕ sin ,
где — угол между направлениями векторов р и Е .
Электроемкость уединенного проводника или конденсатора – C q ,
где q – заряд, сообщенный проводнику; — изменение потенциала,

вызванное этим зарядом. Электроемкость уединенной проводящей сферы радиусом R, находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью , – С 4 0 R . Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то ее электроемкость при этом не изменяется. Электроемкость плоского конденсатора: C 0 S , d где S – площадь каждой пластины конденсатора; d – расстояние между пластинами; — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами. Электроемкость плоского конденсатора, заполненного n слоями диэлектрика толщиной d i и диэлектрической проницаемостью i каждый (слоистый конденсатор), составляет

С 0 S
.
d 1 d 2 . d n
1 2 n

24 Электроемкость сферического конденсатора (две концентрические сферы радиусом R 1 и R 2 , пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью ) находится так: С 4 0 R 1 R 2 . R 2 R 1 Электроемкость последовательно соединенных конденсаторов составляет:

в общем случае – 1 1 1 . 1 , где n – число конденсаторов;
С С 1 С 2 С n
в случае двух конденсаторов – С С 1 С 2 ;
С 1 С 2

в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С 1 каждый – С С n 1 . Электроемкость параллельно соединенных конденсаторов определяется следующим образом: в общем случае – С=С 1 +С 2 +…+С n ; в случае двух конденсаторов – С= С 1 +С 2 ; в случае n одинаковых конденсаторов с электроемкостью С 1 каждый – С=nС 1 . Энергия заряженного проводника выражается через заряд q, потенциал и электроемкость С проводника следующим образом: С 2 q q 2 W 2 2 2С . Энергия заряженного конденсатора –

W СU 2 qU q 2 ,
2 2 2C

где q – заряд конденсатора; С – электроемкость конденсатора; U – разность потенциалов на его пластинах. Объемная плотность энергии (энергия электрического поля, приходящаяся на единицу объема): 1 2 0 Е 2 1 2 ED , где Е – напряженность электрического поля в среде с диэлектрической проницаемостью ; D – электрическое смещение. Сила постоянного тока – I q t , где q – количество электричества, прошедшего через поперечное сечение проводника за время t.

25 Плотность электрического тока есть векторная величина, равная отношению силы тока к площади S поперечного сечения проводника:

I
j k ,
S

где k — единичный вектор, по направлению совпадающий с движением положительных носителей заряда. Сопротивление однородного проводника – R S , где — удельное сопротивление вещества проводника; – его длина. Проводимость G проводника и удельная проводимость вещества определяются так: G R 1 ; 1 . Зависимость удельного сопротивления от температуры – = 0 (1+ t), где и 0 – значения удельного сопротивления соответственно при t и 0 0 С, где t – температура (по шкале Цельсия); — температурный коэффициент сопротивления. Сопротивление соединения проводников рассчитывается следующим образом: при последовательном соединении – n R R i ; i 1

1 n 1
при параллельном соединении – ,
R i 1 R i
где R i – сопротивление i-го проводника; n – число проводников.
Закон Ома:
для однородного участка цепи ( 12 =0) – I U 1 2 ;
R R
для неоднородного участка цепи – I ( 1 2 ) 12 ;
R r
для замкнутой цепи – I ,
R r
где 1 2 — разность потенциалов на концах участка цепи; 12 – ЭДС

источника тока, входящего в участок; U – напряжение на участке цепи; R — сопротивление цепи (участка цепи); — ЭДС всех источников тока цепи. Правила Кирхгофа . Первое правило: алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е. n I i 0 , i 1

где n – число токов, сходящихся в узле.

26 Второе правило: в замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на всех участках контура равна алгебраической сумме величин электродвижущих сил, т.е. n k I i R i = i , i 1 i 1 где I i – сила тока на i-ом участке; R i – активное сопротивление на i-ом участке; I – ЭДС источников тока на i-ом участке; n – число участков, содержащих активное сопротивление; k – число участков, содержащих источник тока. Работа, совершаемая электростатическим полем и сторонними силами на участке цепи постоянного тока за время t, – A IUt . Мощность тока – P UI . Закон Джоуля-Ленца – Q I 2 Rt , где Q – количество теплоты, выделяющейся на участке цепи за время t. Закон Джоуля-Ленца справедлив при условии, если участок цепи неподвижен и в нем не происходят химические превращения. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Пример 1 . Уравнение движения материальной точки вдоль оси имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , где А =2 м, В = 7м/с; С = -0,5м/с 3 . Найти координату x, скорость v и ускорение a точки в момент времени t, равный 2 с. Решение. Координату x найдем, подставив в уравнение движения числовые значения коэффициентов А,В,С и времени t: x=(2+7∙2-0,5∙2 3 )=12 м. Мгновенная скорость есть первая производная от координат по времени: v = dx dt = B +3Ct 2 . Ускорение точки найдем, взяв первую производную от скорости по времени: a = dv dt = 6Ct 2 . В момент времени t=2с v =(7-3∙0,5∙2 2 ) = 1м/с; a = 6 · 0,5 ·2 = 6 м/с 2 . Пример 2 . Тело брошено со скоростью v 0 = 10 м/с под углом α = 40 0 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: 1) высоту h подъема тела; 2) дальность S полета тела (по горизонтали); 3)время движения тела.

27 Решение. Перемещение тела можно разложить на два: горизонтальное вдоль оси x и вертикальное вдоль оси y (см. рисунок). Применяя закон независимости движений, имеем

h = v oy t gt 2 ;
2
S = v ox · 2t,
где t – время подъема; 2t – время полета.

Из рисунка видно, что v 0y =v 0 sinα; v 0x = v 0 cosα . В верхней точке подъема v y = 0, и из уравнения v y = v 0y – gt получаем, что v 0 sin α = gt. Отсюда время подъема равно t = v 0 sin 10 0,64 0,65 c. g 9,8 Подставив значение t в (1), получим высоту, на которую поднимется тело:

h= v 0 sin 2 10 0.64 2
2,1 м.
2g 2 9,8

Подставив значение t в (2), найдем дальность полета: S = v 0 cosα 2t = 10·0,77·1,3 = 10м. Время полета 2t = 2 · 0,64 = 1,3 с. Пример 3. Диск радиусом R =5 см вращается вокруг неподвижной оси так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением ω = 2At + 5Bt 4 , где А = 2 рад/с 2 , В = 1 рад/с 5 . Найти для точек на ободе диска к концу первой секунды после начала движения: 1) полное ускорение; 2) число оборотов диска. Решение. Полное ускорение может быть найдено как геометрическая сумма тангенциального ускорения a , направленного по касательной к траектории, и нормального ускорения a n , направленного к центру кривизны траектории, см.

рисунок.
а а а n .
Так как векторы а и а n взаимно
перпендикулярны, то модуль ускорения –
a a 2 a n 2 . Тангенциальное и нормальное
a
ускорения точки вращающегося тела
a
выражаются формулами
a
O a r ; a n 2 r ,
где ε – угловое ускорение тела; ω – угловая
скорость тела.
R

По условию задачи

ω = 2 Аt + 5 Bt 4 .
Следовательно, R 2A 20Bt 3 0,05 2 2 20 1 1 1,2 м/с 2 ;
a R R d
dt
a n 2 R R 2At 5Bt 4 2 0,05 2 21 5 1 1 4 4,05 м/с 2 .
Полное ускорение
a a 2 a n 2 1,2 2 4,05 2 4,22 м/с 2 .
Угол поворота диска равен φ = 2πN (где N –число оборотов), но угловая
скорость составляет
d
.
dt
t t
Следовательно, dt 2At 5Bt 4 dt At 2 Bt 5 .
0 0
Тогда число оборотов диска – N At 2 Bt 5 2 1 2 1 1 5 0,48 .
2
2 2 3,14

Пример 4. Маховик вращается с постоянной частотой n 0 =10 c -1 . При торможении он начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение маховика снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6c -1 . Найти угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за время равнозамедленного движения маховик сделал N=50 оборотов. Решение. Угловое ускорение маховика связано с начальной 0 и конечной ω

угловыми скоростями соотношением 2 2 2 ; откуда 2 2
0 .
0 2
Но так как φ = 2 π N, ω = 2 π n, то
2 2 n 2 n 2 3,14 6 2 10 2 4,02 2
0 0 рад/с .
2 N 50

Знак «минус» указывает на то, что маховик вращается замедленно. Для определения продолжительности торможения используем формулу, связывающую угол поворота со средней угловой скоростью вращения и временем: φ = ω ср t. По условию задачи угловая скорость линейно зависит от времени, и поэтому ср можно выразить так:

ср 0 ,
2
0 t
тогда n 0 n t . Откуда
2
t 2N 2 50 6,25 с.
n n 10 6
0 n 0 n

Пример 5. К нити подвешен груз массой m=1 кг. Найти силу натяжения нити F H , если нить с грузом: 1) поднимать с ускорением a=5 м/с 2 ; 2) опускать с тем же ускорением. Решение. На поднимаемый груз, действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити F H (вверх), см. рисунок. Применив второй закон

Ньютона, получим, что ma=F H -mg. Отсюда
F H m a g 1(5 9,8) 14,8 H.

На опускаемый груз также действуют сила тяжести mg (вниз) и сила натяжения нити F H (вверх). Применив второй закон Ньютона, получим, что ma mg F H . Отсюда F H m(g a) 4,8 H. Пример 6. По плоскости с углом наклона 30 0 к горизонту скользит тело. Определить скорость тела в конце второй секунды от начала скольжения, если коэффициент трения k = 0,15.

Решение
Уравнение движения тела в векторной форме
(второй закон Ньютона):

N mg F тр ma . В проекциях на оси x и y это уравнение примет вид

mgsin F тр ma ; (1)
N mscos 0 . (2)
30
Из уравнения (2) N mgcos , см. рисунок. Сила трения
F тр kN kmgcos .
Тогда, подставив F тр в уравнение (1), получим выражение
mgsinα-kmgcosα=ma,
отсюда a=g(sinα-kcosα).
Скорость тела v v 0 at , но v 0 =0; поэтому
1 3
v at g sin k cos t 9,8 0,15 2 19,6 0,5 0,13 7,25 м/с.
2 2

Пример 7. Шар массой m 1 , движущийся горизонтально с некоторой скоростью v 1 , столкнулся с неподвижным шаром массой m 2 . Шары – абсолютно упругие, удар прямой. Какую долю своей кинетической энергии первый шар передал второму? Решение. Доля энергии, переданной первым шаром второму, выразится соотношением

K 2 m u 2 m 2 u 2 2
n 2 2 , (1)
2
K 1
m 1 v 1 m 1 v 1

где K 1 – кинетическая энергия первого шара до удара; u 2 и K 2 – скорость и кинетическая энергия второго шара после удара. При ударе абсолютно упругих тел одновременно выполняются два закона сохранения: импульса и механической энергии. По закону сохранения импульса, с учетом того, что второй шар до удара покоился, имеем m 1 v 1 m 1 u 1 m 2 u 2 .

По закону сохранения механической энергии – m 1 v 1 2 mu 1 2 m 2 u 2 2 .
2 2 2
Решая совместно два последних уравнения, найдём, что u 2 2m 1 v 1 .
m 1 m 2
Подставив выражение u 2 2m 1 v 1 в равенство (1), получим
m 1 m 2
n m 2m v 2 4m m .
2 1 1 1 2
m 1 m 2 2
m 1 v 1 m 1 m 2

Из этого соотношения видно, что доля переданной энергии зависит только от масс сталкивающихся шаров. Пример 8. Сплошной шар массой 1 кг и радиусом 0,05 м вращается вокруг оси, проходящей через его центр. В точке, наиболее удалённой от оси вращения, на шар действует сила, касательная к поверхности. Угол поворота шара меняется

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *