Как найти площадь случайного четырехугольника
Перейти к содержимому

Как найти площадь случайного четырехугольника

  • автор:

Площадь четырехугольника

Площадь четырехугольника считается, как сумма площадей треугольников, на которые его делят диагонали.

Представим, что каждая диагональ делится точкой пересечения на две части:
Тогда площади треугольников будут равны:

А площадь четырехугольника сложится в полупроизведение диагоналей на синус угла, который дан, так как части диагоналей сгруппируются и сложатся обратно так же, как мы их разложили, а синус данного угла и угла, его дополняющего, равны по определению.

Площадь четырехугольника

четырехугольник

Четырехугольником называется фигура, состоящая из четырех вершин, три из которых не лежат на одной прямой, и отрезков, соединяющих их.

Существует множество четырехугольников. К ним относятся параллелограммы, квадраты, ромбы, трапеции. Найти площадь квадрата можно найти по сторонам, площадь ромба легко вычисляется по диагоналям. В произвольном четырехугольнике также можно использовать все элементы для вывода формулы площади четырехугольника. Для начала рассмотрим формулу площади четырехугольника через диагональ. Для того, чтобы ее использовать потребуются длины диагоналей и размер острого угла между ними. Зная необходимые данные можно проводить пример расчета площади четырехугольника по такой формуле:

S=<d_1 d_2 sin<alpha></p>
<p>>/2″ /></p>
<p>Половина произведения диагоналей и синуса острого угла между ними является площадью четырехугольника. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника через диагональ.</p><div class='code-block code-block-1' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 1joomlaumnik -->
<script src=

S=<5*4*0,5></p>
<p> Пусть дан четырехугольник с двумя диагоналями d1 =5 см; d2 =4см. Острый угол между ними равен α = 30°. Формула площади четырехугольника через диагонали легко применяется для известных условий. Подставим данные: <br />/2=5^2″ /></p>
<p>На примере расчета площади четырехугольника через диагонали понимаем, что формула очень похожа на расчет площади параллелограмма.</p>
<h3>Площадь четырехугольника по сторонам</h3>
<p><img decoding=

Площадь четырехугольника, заданного координатами

Формула площади четырехугольника по координатам используется для расчета площади фигур, которые располагаются в системе координат. В этом случае для начала требуется расчет длин необходимых сторон. В зависимости от типа четырехугольника может меняться и сама формула. Рассмотрим пример расчета площади четырехугольника, используя квадрат, который лежит в системе координат XY .

четырехугольник

Дан квадрат ABCD , расположенный в системе координат XY . Найти площадь фигуры, если координаты вершин A (2;10); B (10;8); C (8;0); D (0;2).

Мы знаем, что все стороны фигуры равны, и формула площади квадрата находится по формуле:S=a^2
Найдем одну из сторон, к примеру, AB :AB=sqrt<<(x_b-x_a)>^2+^2>» /> <br />Подставим значения в формулу:<img decoding=

Площадь прямоугольника через его стороны

S = ab

a и b – смежные стороны прямоугольника

Формула для площади прямоугольника через его диагонали и угол между ними

Площадь прямоугольника через диагонали и угол между ними

d – диагональ, φ – любой из четырёх углов между диагоналями

Формула для площади прямоугольника через радиус описанной окружности и угол между диагоналями прямоугольника

Площадь прямоугольника радиус описанной окружности и угол между диагоналями

S = 2R 2 sin φ

R – радиус описанной окружности, φ – любой из четырёх углов между диагоналями прямоугольника

Формула получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади параллелограмма через его сторону и высоту, опущенную на эту сторону

Площадь параллелограмма сторону и высоту

S = a ha

a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади параллелограмма через стороны параллелограмма и угол между ними

Площадь параллелограмма через стороны и угол между ними

S = absin φ

a и b – смежные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади параллелограмма через его диагонали и угол между ними

Площадь параллелограмма диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади квадрата через его сторону

Площадь квадрата через сторону

S = a 2

a – сторона квадрата

Формула для площади квадрата через радиус вписанной окружности

Площадь квадрата через радиус вписанной окружности

S = 4r 2

r – радиус вписанной окружности

Формула для площади квадрата через его диагональ

Площадь квадрата через диагональ

d – диагональ квадрата

Формула для площади квадрата через радиус описанной окружности

Площадь квадрата через радиус описанной окружности

S = 2R 2

R – радиус описанной окружности

Получается из верхней формулы подстановкой d = 2R

Формула для площади ромба через сторону и высоту, опущенную на эту сторону

Площадь ромба через сторону и высоту

S = a ha

a – сторона, ha – высота, опущенная на эту сторону

Формула для площади ромба через сторону и угол ромба

Площадь ромба через сторону и угол

S = a 2 sin φ

a – сторона, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади ромба через его диагонали

Площадь ромба через диагонали

Формула для площади ромба через его сторону и радиус вписанной окружности

Площадь ромба через сторону и радиус вписанной окружности

S = 2ar

a – сторона, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади ромба через радиус вписанной окружности и угол ромба

Площадь ромба через радиус вписанной окружности и угол

r – радиус вписанной окружности, φ – любой из четырёх углов ромба

Формула для площади трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через основания и высоту

a и b – основания, h – высота

Формула для площади трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

S = m h

m – средняя линия, h – высота

Формула для площади трапеции через ее диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади трапеции через ее стороны

Площадь трапеции через стороны

a и b – основания, c и d – боковые стороны

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними

Формула площади дельтоида через неравные стороны и угол между ними

S = ab sin φ

a и b – неравные стороны, φ – угол между ними

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами

Формула площади дельтоида через неравные стороны и углы между равными сторонами

a и b – неравные стороны, φ1 – угол между сторонами, равными a , φ2 – угол между сторонами, равными b .

Формула для площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности

Формула площади дельтоида через неравные стороны и радиус вписанной окружности

S = (a + b) r

a и b – неравные стороны, r – радиус вписанной окружности

Формула для площади дельтоида через его диагонали

Формула площади дельтоида через диагонали

Формула для площади выпуклого четырехугольника через его диагонали и угол между ними

Формула площади выпуклого четырехугольника через диагонали и угол между ними

d1, d2 – диагонали, φ – любой из четырёх углов между ними

Формула для площади четырехугольника, вписанного в окружность, через его стороны и полупериметр («Формула Брахмагупты»)

Площадь вписанного четырехугольника формула Брахмагупты

a, b, c, d – длины сторон четырёхугольника, p – полупериметр

Вывод формул для площадей четырехугольников

УТВЕРЖДЕНИЕ 1 . Площадь выпуклого четырёхугольника можно найти по формуле

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . В соответствии с рисунком 1 справедливо равенство:

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a – сторона параллелограмма, а ha – высота, опущенная на эту сторону (рис. 2).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 3 . Площадь параллелограмма можно найти по формуле

где a и b – смежные стороны параллелограмма, а φ – угол между ними (рис. 3).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

то, в силу утверждения 2, справедлива формула

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 4 . Площадь ромба можно найти по формуле

где r – радиус вписанной в ромб окружности, а φ – любой из четырёх углов ромба (рис.4).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 5 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания трапеции, а h – высота (рис.5).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Проведём прямую BE через вершину B трапеции и середину E боковой стороны CD . Точку пересечения прямых AD и BE обозначим буквой F (рис. 5). Поскольку треугольник BCE равен треугольнику EDF (по стороне и прилежащим к ней углам), то площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ABF . Поэтому

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 6 . Площадь трапеции можно найти по формуле

где a и b – основания, а c и d – боковые стороны трапеции

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Воспользовавшись теоремой Пифагора, составим следующую систему уравнений с неизвестными x, y, h (рис. 6):

что и требовалось доказать.

УТВЕРЖДЕНИЕ 7 . Площадь дельтоида можно найти по формуле:

где a и b – неравные стороны дельтоида, а r – радиус вписанной в дельтоид окружности (рис.7).

Площади четырехугольников прямоугольника параллелограмма ромба трапеции дельтоида вывод формул

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО . Докажем сначала, что в каждый дельтоид можно вписать окружность. Для этого заметим, что треугольники ABD и BCD равны в силу признака равенства треугольников «По трём сторонам» (рис. 7). Отсюда вытекает, что диагональ BD является биссектрисой углов B и D , а биссектрисы углов A и C пересекаются в некоторой точке O , лежащей на диагонали BD . Точка O и является центром вписанной в дельтоид окружности.

Если r – радиус вписанной в дельтоид окружности, то

что и требовалось доказать.

Справочник по математике для школьников

Геометрия (планиметрия)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *