Как вычислить приближенное значение функции
Перейти к содержимому

Как вычислить приближенное значение функции

  • автор:

Вычисление приближенно с помощью дифференциала

С одной стороны, вычисление дифференциала значительно проще, чем вычисление приращения, с другой стороны, dy≈∆y и допускаемая при этом погрешность может быть сделана сколь угодно малой за счет уменьшения ∆x. Эти обстоятельства позволяют во многих случаях заменять ∆y величиной dy. Из приближенного равенства dy≈∆y, учитывая, что ∆y = f(x) – f(x0), а dy=f’(x0)(x-x0), получим

f(x) ≈ f(x0) + f’(x0)(x–x0) , (1)

где x-x0 = ∆x.
Пример№1 . Вычислить .
Решение. Взяв функцию , имеем: . Полагая x0=16 (выбираем сами, чтобы корень извлекался), ∆x = 0,02, получим:

Пример №2 . Вычислить значение функции f(x) = e x в точке x=0.1.
Решение. В качестве x0 возьмем число 0, то есть x0=0, тогда ∆x=x-x0 =0.1 и e 0.1 ≈e 0 + e 0 0.1 = 1+0.1 = 1.1. По таблице e 0.1 ≈1.1052. Ошибка получилась незначительная.
Отметим еще одно важное свойство дифференциала. Формула для нахождения дифференциала dy=f’(x)dx верна как в случае, когда x – независимая переменная, так и в случае, когда x – функция от новой переменной t. Это свойство дифференциала называется свойством инвариантности его формы. Например, для функции y=tg(x) дифференциал запишется в виде независимо от того, является ли x независимой переменной или функцией. В случае, если x – функция и конкретно задана, например x=t 2 , то вычисление dy можно продолжить, для чего найдем dx=2tdt и подставим в ранее полученное выражение для dy:
.
Если вместо формулы (2) воспользовались бы неинвариантной формулой (1), то в случае, когда x – функция, мы не могли бы подобным образом продолжить вычисление dy, так как ∆x, вообще говоря, не совпадает с dx.

Пример №3
Извлечь квадратный корень из 3654.
Решение. Надо найти значение функции при x=3654. Легко вычисляются значения f(x) и при x=3600. Формула (1) при a=3600, h=54 дает . Здесь все знаки верны.

Пример №4 . Найти 10 2,1 .
Решение. Полагаем f(x)=10 x , так что . Формула (1) при a=2, h=0,1 дат:
.
Этот результат грубоват (с точностью до четвертой значащей цифры 10 2,1 =125,9).
Если таким же образом вычислить 10 2,01 (теперь h=0,01), получим 102,3. Здесь все знаки верны.

Пример №5 . Найти без таблиц tg 46 о .
Решение. Полагаем f(x)=tg x, a=45 о , h=1 о =0,0175 радиана; тогда имеем: . Значит, tg 45 о =1+2·0,0175=1,0350.
Неверен только последний знак; из таблиц имеем tg 46 o =1, 0355.

Полезно заметить следующие приближенные формулы ( a -малая величина):
, ; (2)
, ; (3)
, ; (4)
, ; (5)
, ; (6)
Формулы (2)-(6) являются частными случаями формулы (1+a) n ≈1+na; последняя получается из (1), если положить f(x)=x n , a=1,h=a.
ln(1+a)≈a, ln(1-a)≈-a; (7)
e a ≈1+a, ; (8)
sin a≈a, , tg a≈a; (9)

Как вычислить приближенное значение функции

с помощью дифференциала

Пример 1 . Вычислить приближенное значение .

Решение. Требуется вычислить значение функции при х=3,96. Подберем достаточно близкое к подкоренному числу число , для которого значение квадратного корня легко вычисляется. В нашем примере это число 4: , т.е. , .

Тогда по формуле (2.1): .

Используя формулу (2.1), легко получить другие формулы для приближенных вычислений при

Пример 2. . Вычислить приближенное значение .

Решение.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала

На данном уроке мы рассмотрим широко распространенную задачу о приближенном вычислении значения функции с помощью дифференциала. Здесь и далее речь пойдёт о дифференциалах первого порядка, для краткости я часто буду говорить просто «дифференциал». Задача о приближенных вычислениях с помощью дифференциала обладает жёстким алгоритмом решения, и, следовательно, особых трудностей возникнуть не должно. Единственное, есть небольшие подводные камни, которые тоже будут подчищены. Так что смело ныряйте головой вниз.

Кроме того, на странице присутствуют формулы нахождения абсолютной и относительной погрешность вычислений. Материал очень полезный, поскольку погрешности приходится рассчитывать и в других задачах. Физики, где ваши аплодисменты? =)

Для успешного освоения примеров необходимо уметь находить производные функций хотя бы на среднем уровне, поэтому если с дифференцированием совсем нелады, пожалуйста, начните с урока Как найти производную? Также рекомендую прочитать статью Простейшие задачи с производной, а именно параграфы о нахождении производной в точке и нахождении дифференциала в точке. Из технических средств потребуется микрокалькулятор с различными математическими функциями. Можно использовать Эксель, но в данном случае он менее удобен.

Практикум состоит из двух частей:

– Приближенные вычисления с помощью дифференциала функции одной переменной.

– Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала функции двух переменных.

Кому что нужно. На самом деле можно было разделить богатство на две кучи, по той причине, что второй пункт относится к приложениям функций нескольких переменных. Но что поделать, вот люблю я длинные статьи.

Приближенные вычисления
с помощью дифференциала функции одной переменной

Рассматриваемое задание и его геометрический смысл уже освещёны на уроке Что такое производная?, и сейчас мы ограничимся формальным рассмотрением примеров, чего вполне достаточно, чтобы научиться их решать.

В первом параграфе рулит функция одной переменной. Как все знают, она обозначается через или через . Для данной задачи намного удобнее использовать второе обозначение. Сразу перейдем к популярному примеру, который часто встречается на практике:

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!

На первом этапе необходимо составить функцию . По условию предложено вычислить кубический корень из числа: , поэтому соответствующая функция имеет вид: . Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение .

Смотрим на левую часть формулы , и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде . Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:
– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение должно быть как можно ближе к 67. В данном случае: . Действительно: .

Примечание: Когда с подбором всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае ), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае ). В результате и будет выполнен нужный подбор: .

Если , то приращение аргумента: .

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Далее работаем с правой частью формулы .

Сначала вычислим значение функции в точке . Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:
– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке :

Всё готово! Согласно формуле :

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению , вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

Вычислить приближенно , заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока. Начинающим сначала рекомендую вычислить точное значение на микрокалькуляторе, чтобы выяснить, какое число принять за , а какое – за . Следует отметить, что в данном примере будет отрицательным.

У некоторых, возможно, возник вопрос, зачем нужна эта задача, если можно всё спокойно и более точно подсчитать на калькуляторе? Согласен, задача глупая и наивная. Но попытаюсь немного её оправдать. Во-первых, задание иллюстрирует смысл дифференциала функции. Во-вторых, в древние времена, калькулятор был чем-то вроде личного вертолета в наше время. Сам видел, как из местного политехнического института году где-то в 1985-86 выбросили компьютер размером с комнату (со всего города сбежались радиолюбители с отвертками, и через пару часов от агрегата остался только корпус). Антиквариат водился и у нас на физмате, правда, размером поменьше – где-то с парту. Вот так вот и мучились наши предки с методами приближенных вычислений. Конная повозка – тоже транспорт.

Так или иначе, задача осталась в стандартном курсе высшей математики, и решать её придётся. Это основной ответ на ваш вопрос =)

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в точке с помощью микрокалькулятора, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Фактически то же самое задание, его запросто можно переформулировать так: «Вычислить приближенное значение с помощью дифференциала»

Решение: Используем знакомую формулу:
В данном случае уже дана готовая функция: . Ещё раз обращаю внимание, что для обозначения функции вместо «игрека» удобнее использовать .

Значение необходимо представить в виде . Ну, тут легче, мы видим, что число 1,97 очень близко к «двойке», поэтому напрашивается . И, следовательно: .
Вычислим значение функции в точке :

Используя формулу , вычислим дифференциал в этой же точке.

Находим первую производную:

И её значение в точке :

Таким образом, дифференциал в точке:

В результате, по формуле :

Вторая часть задания состоит в том, чтобы найти абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Абсолютная и относительная погрешность вычислений

Абсолютная погрешность вычислений находится по формуле:

Знак модуля показывает, что нам без разницы, какое значение больше, а какое меньше. Важно, насколько далеко приближенный результат отклонился от точного значения в ту или иную сторону.

Относительная погрешность вычислений находится по формуле:
, или, то же самое:

Относительная погрешность показывает, на сколько процентов приближенный результат отклонился от точного значения. Существует версия формулы и без домножения на 100%, но на практике я почти всегда вижу вышеприведенный вариант с процентами.

После короткой справки вернемся к нашей задаче, в которой мы вычислили приближенное значение функции с помощью дифференциала.

Вычислим точное значение функции с помощью микрокалькулятора:
, строго говоря, значение всё равно приближенное, но мы будем считать его точным. Такие уж задачи встречаются.

Вычислим абсолютную погрешность:

Вычислим относительную погрешность:
, получены тысячные доли процента, таким образом, дифференциал обеспечил просто отличное приближение.

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Следующий пример для самостоятельного решения:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке . Вычислить более точное значение функции в данной точке, оценить абсолютную и относительную погрешность вычислений.

Примерный образец чистового оформления и ответ в конце урока.

Многие обратили внимание, что во всех рассмотренных примерах фигурируют корни. Это не случайно, в большинстве случаев в рассматриваемой задаче действительно предлагаются функции с корнями.

Но для страждущих читателей я раскопал небольшой пример с арксинусом:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала значение функции в точке

Этот коротенький, но познавательный пример тоже для самостоятельного решения. А я немного отдохнул, чтобы с новыми силами рассмотреть особое задание:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до двух знаков после запятой.

Решение: Что нового в задании? По условию требуется округлить результат до двух знаков после запятой. Но дело не в этом, школьная задача округления, думаю, не представляет для вас сложностей. Дело в том, что у нас дан тангенс с аргументом, который выражен в градусах. Что делать, когда вам предлагается для решения тригонометрическая функция с градусами? Например, и т. д.

Алгоритм решения принципиально сохраняется, то есть необходимо, как и в предыдущих примерах, применить формулу

Записываем очевидную функцию

Значение нужно представить в виде . Серьёзную помощь окажет таблица значений тригонометрических функций. Кстати, кто её не распечатал, рекомендую это сделать, поскольку заглядывать туда придется на протяжении всего курса изучения высшей математики.

Анализируя таблицу, замечаем «хорошее» значение тангенса, которое близко располагается к 47 градусам:

После предварительного анализа градусы необходимо перевести в радианы. Так, и только так!

В данном примере непосредственно из тригонометрической таблицы можно выяснить, что . По формуле перевода градусов в радианы: (формулы можно найти в той же таблице).

Таким образом: (при вычислениях используем значение ). Результат, как и требовалось по условию, округлён до двух знаков после запятой.

Ответ:

Вычислить приближенно с помощью дифференциала , результат округлить до трёх знаков после запятой.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Как видите, ничего сложного, градусы переводим в радианы и придерживаемся обычного алгоритма решения.

Приближенные вычисления
с помощью полного дифференциала функции двух переменных

Всё будет очень и очень похоже, поэтому, если вы зашли на эту страницу именно этим заданием, то сначала рекомендую просмотреть хотя бы пару примеров предыдущего пункта.

Для изучения параграфа необходимо уметь находить частные производные второго порядка, куда ж без них. На вышеупомянутом уроке функцию двух переменных я обозначал через букву . Применительно к рассматриваемому заданию удобнее использовать эквивалентное обозначение .

Как и для случая функции одной переменной, условие задачи может быть сформулировано по-разному, и я постараюсь рассмотреть все встречающиеся формулировки.

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Решение: Как бы ни было записано условие, в самом решении для обозначения функции, повторюсь, лучше использовать не букву «зет», а .

А вот и рабочая формула:

Перед нами фактически старшая сестра формулы предыдущего параграфа. Переменная только прибавилась. Да что говорить, сам алгоритм решения будет принципиально таким же!

По условию требуется найти приближенное значение функции в точке .

Число 3,04 представим в виде . Колобок сам просится, чтобы его съели:
,

Число 3,95 представим в виде . Дошла очередь и до второй половины Колобка:
,

И не смотрите на всякие лисьи хитрости, Колобок есть – надо его съесть.

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал функции в точке найдём по формуле:

Из формулы следует, что нужно найти частные производные первого порядка и вычислить их значения в точке .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, по формуле приближенное значение функции в точке :

Вычислим точное значение функции в точке :

Вот это значение является абсолютно точным.

Погрешности рассчитываются по стандартным формулам, о которых уже шла речь в этой статье.

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Вычислить приближенное значение функции в точке с помощью полного дифференциала, оценить абсолютную и относительную погрешность.

Это пример для самостоятельного решения. Кто остановится подробнее на данном примере, тот обратит внимание на то, что погрешности вычислений получились весьма и весьма заметными. Это произошло по следующей причине: в предложенной задаче достаточно велики приращения аргументов: . Общая закономерность такова – чем больше эти приращения по абсолютной величине, тем ниже точность вычислений. Так, например, для похожей точки приращения будут небольшими: , и точность приближенных вычислений получится очень высокой.

Данная особенность справедлива и для случая функции одной переменной (первая часть урока).

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Решение: Вычислим данное выражение приближенно с помощью полного дифференциала функции двух переменных:

Отличие от Примеров 8-9 состоит в том, что нам сначала необходимо составить функцию двух переменных: . Как составлена функция, думаю, всем интуитивно понятно.

Значение 4,9973 близко к «пятерке», поэтому: , .
Значение 0,9919 близко к «единице», следовательно, полагаем: , .

Вычислим значение функции в точке :

Дифференциал в точке найдем по формуле:

Для этого вычислим частные производные первого порядка в точке .

Производные здесь не самые простые, и следует быть аккуратным:
;

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора: 2,998899527

Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Как раз иллюстрация вышесказанному, в рассмотренной задаче приращения аргументов очень малы , и погрешность получилась фантастически мизерной.

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение данного выражения. Вычислить это же выражение с помощью микрокалькулятора. Оценить в процентах относительную погрешность вычислений.

Это пример для самостоятельного решения. Примерный образец чистового оформления в конце урока.

Как уже отмечалось, наиболее частный гость в данном типе заданий – это какие-нибудь корни. Но время от времени встречаются и другие функции. И заключительный простой пример для релаксации:

С помощью полного дифференциала функции двух переменных вычислить приближенно значение функции , если

Решение ближе к дну страницы. Еще раз обратите внимание на формулировки заданий урока, в различных примерах на практике формулировки могут быть разными, но это принципиально не меняет сути и алгоритма решения.

Если честно, немного утомился, поскольку материал был нудноватый. Непедагогично это было говорить в начале статьи, но сейчас-то уже можно =) Действительно, задачи вычислительной математики обычно не очень сложны, не очень интересны, самое важное, пожалуй, не допустить ошибку в обычных расчётах.

Да не сотрутся клавиши вашего калькулятора!

Решения и ответы:

Пример 2: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 4: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Вычислим более точное значение функции с помощью микрокалькулятора:

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность вычислений , относительная погрешность вычислений

Пример 5: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 7: Решение: Используем формулу:
В данном случае: , ,

Таким образом:
Ответ:

Пример 9: Решение: Используем формулу:
В данной задаче:
, , , , .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом:
С помощью калькулятора вычислим точное значение функции в данной точке:

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: , абсолютная погрешность: , относительная погрешность:

Пример 11: Решение: С помощью полного дифференциала вычислим данное выражение приближенно:

В данной задаче:

,
,

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом, приближенное значение данного выражения:

Значение, вычисленное с помощью микрокалькулятора: 2,007045533
Найдем относительную погрешность вычислений:

Ответ: ,

Пример 12: Решение: Используем формулу:.
В данной задаче: , , , , .

Вычислим частные производные первого порядка в точке :

Полный дифференциал в точке :

Таким образом:

Ответ:

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Приближенные вычисления с помощью рядов

После изучения основных понятий функциональных и степенных рядов, задачи разложения функций в ряды переходим к обширной группе приложений рассматриваемой темы. К основным заданиям, которые часто встречаются на практике, относятся следующие:

приближённое вычисление значения функции с помощью ряда;

На данном уроке мы рассмотрим первую, наиболее простую задачу, для решения которой потребуются самые элементарные знания о рядах, таблица разложений функций в степенные ряды и микрокалькулятор. Как вариант, пойдёт Эксель (если умеете управляться с его функциями). Вычислительные задачи требуют повышенной концентрации внимания, поэтому к изучению статьи рекомендую подойти в хорошей физической форме и со свежей головой:

Существует 2 типа рассматриваемой задачи, с которыми мы на самом деле уже сталкивались ранее, в частности при вычислении интеграла по формуле трапеций и методом Симпсона. Тип первый:

Используя разложение функции в ряд, вычислить число , ограничившись 5 членами разложения. Результат округлить до 0,001. Провести вычисления на калькуляторе и найти абсолютную погрешность вычислений.

Решение: прежде всего, выбираем подходящее табличное разложение функции. Очевидно, что в нашем случае необходимо взять следующий ряд:
, который сходится при любом значении «икс».

Кратко повторим, что такое сходимость функционального ряда: чем больше слагаемых мы рассмотрим, тем точнее функция-многочлен будет приближать функцию . Действительно, график параболы совсем не напоминает экспоненту и график кубической функции тоже далёк от идеала, но если взять 50-100 членов ряда, то картина в корне поменяется. И, наконец, график бесконечного многочлена совпадёт с графиком экспоненциальной функции .

Примечание: в теории даже есть такой подход и определение: функция – это сумма функционального ряда .

В условии прямо сказано, что нужно просуммировать 5 первых членов ряда, причём, результат следует округлить до 0,001. И поэтому проблем здесь никаких:

Вычислим более точное значение с помощью микрокалькулятора:

Абсолютная погрешность вычислений:
– ну что же, вполне и вполне неплохо. Но бывает лучше.

Ответ:

Теперь рассмотрим нескольку другую разновидность задания:

Используя разложение функции в ряд, вычислить приближённо с точностью до 0,001.

! Примечание: иногда аргумент бывает выражен в градусах, в таких случаях его необходимо перевести в радианы.

Давайте вспомним смысл выражения «с точностью до 0,001». Оно обозначает, что наш ответ должен отличаться от истины не более чем на 0,001.

Решение: используя табличное разложение , запишем несколько членов соответствующего ряда, при этом округление лучше проводить с «запасом» – до 5-6 знаков после запятой:

Сколько членов ряда следует просуммировать для достижения требуемой точности? Для сходящихся знакочередующихся рядов справедлив следующий критерий: члены следует суммировать до тех пор, пока они по модулю больше заданной точности. Первый же меньший вместе со всем «хвостом» подлежит утилизации. В данном примере таковым является 4-й член: , поэтому:

– с округлением финального результата до требуемой точности.

Ответ: с точностью до 0,001

Наверное, все понимают, почему она гарантирована: здесь к отрицательному 4-му члену прибавляется мЕньшее по модулю число , затем из результата вычитается ещё более малое число – и так далее до бесконечности. Образно говоря, конструкция напоминает маятник с затухающими колебаниями, где – самый большой размах в отрицательную сторону, «затмевающий» собой все остальные движения.

Очевидно, что для сходящихся положительных рядов (ближайший пример – Пример 1) рассмотренный критерий некорректен. Условно говоря, если 0,00034 < 0,001, то сумма «хвоста» может запросто превзойти 0,001 (т.к. ВСЕ члены ряда положительны). И к этому вопросу я ещё вернусь позже:

Вычислить с точностью до 0,001

Вычислить приближённо, используя первые два члена соответствующего разложения. Оценить абсолютную погрешность вычислений.

Это примеры для самостоятельного решения. Разумеется, выгодно сразу же найти чтобы эффективно контролировать ход решения.

И возникает вопрос: зачем заниматься такими нелепыми вещами, если есть калькуляторы, расчётные программы? Отчасти я дал ответ на уроке Приближенные вычисления с помощью дифференциала. Не так уж и давно калькулятор был большой редкостью, не говоря о такой роскоши, как клавиши с надписями и т.д. В гостевой книге сайта одна из посетительниц поделилась воспоминаниями, как все расчёты своего диплома проводила с помощью математических таблиц и логарифмической линейки. А такой инструментарий наряду с механическими счётами сегодня займут место разве что в музее истории математики.

Резюме таково – мы решаем устаревшую задачу. Насущный же практический смысл состоит в том, что её нужно решить =) Ну, может ещё по информатике будет полезно кому – приближенная сумма с наперёд заданной точностью элементарно алгоритмизируется циклом. Правда, какой-нибудь Паскаль довольно быстро сломается, поскольку факториал растёт семимильными шагами.

Кроме того, есть ещё одно очень важное и актуальное приложение, имеющее прикладное значение, но этот секрет будет раскрыт по ходу урока 😉 Выдвигайте гипотезы, если догадаетесь – респект.

Также не следует упускать из внимания область сходимости предлагаемых рядов, разложения синуса, косинуса и экспоненты – да, сходятся при любом «икс», но разобранные примеры не должны усыплять бдительность! Простейшая иллюстрация – арктангенс и его разложение . Если попытаться вычислить, скажем, значение , то легко заметить неограниченный рост (по модулю) членов ряда, который не приведёт нас к какому бы то ни было конечному, и тем более приближённому значению. А всё потому, что не входит в область сходимости данного разложения.

Разберём более трудные задания:

Вычислить с точностью до 0,01

Решение: щёлкаем по клавишам калькулятора: . И думаем, как выполнить приближённые вычисления с помощью ряда. В ситуациях с корнем дело сводится к биномиальному разложению с гарантированным интервалом сходимости .

Пытаемся представить наш радикал в виде :

И всё бы было хорошо, но только значение не входит в область сходимости рассматриваемого биномиального ряда, то есть конструкция не годится для вычислений – произойдёт такой же несчастный случай, как с рассмотренным выше .

Как быть? Ещё раз смотрим на значение и замечаем, что оно близко к «тройке». В самом деле: . Используя замечательного соседа, проводим следующее типовое преобразование: под корнем выделяем число 27, искусственно выносим его за скобки и далее выносим из-под корня:

Вот теперь всё тип-топ: число принадлежит интервалу сходимости . Но в качестве «побочного эффекта» возникает необходимость поправить точность вычислений. Ведь когда мы подсчитаем члены разложения , то будем обязаны домножить каждое число на «тройку». И по этой причине изначально требуемую точность 0,01 нужно устрожить в три раза: .

Итак, используем ряд , в котором . Не забываем проверить по таблице разложений, не подпадает ли наш пример под какой-нибудь частный случай биномиального разложения. Нет. А, значит, придётся работать ручками:

Тут для достижения необходимой точности (заметьте, что члены начали знакочередоваться!) хватило трёх слагаемых, и четвёртого монстра считать не было смысла. Но «про запас» всегда стараемся расписать побольше членов ряда. Если поленитесь и не хватит слагаемых – будете заново переписывать всё задание.

Ответ: с точностью до 0,01

Да, вычисления, конечно, не подарочные, но что поделать….

Более простая вариация на ту же тему для самостоятельного решения:

Вычислить , ограничившись первыми тремя членами ряда. Результат округлить до 3 знаков после запятой.

Образец оформления задачи в конце урока. И не забываем вновь обратиться к вычислительной технике: .

Что студент с нетерпением ждёт изо дня в день? Логарифмы:

Вычислить с точностью до 0,001

Решение: сначала, как всегда, узнаем ответ: .

Очевидно, что здесь нужно использовать разложение

И это действительно возможно, т.к. значение входит в область сходимости данного ряда.

Стоп. Что-то здесь не так. Сойтись-то ряд сойдётся, но такими темпами вычисления могут затянуться до скончания века. И научный тык в неравенство подсказал, что этот конец наступит после счастливого номера .

Таким образом, ряд сходится довольно медленно и пригоден для вычислений разве что и других логарифмов, аргумент которых достаточно близок к единице.

В целях значительного ускорения процесса несложно вывести следующее разложение:
с областью сходимости

Приятная вещь состоит в том, что всякое положительное число (кроме единицы) можно представить в виде . Преобразуем аргумент логарифма в обыкновенную дробь: и решим следующее уравнение:

И теперь у нас обнаружилась другая проблемка – ряд-то, оказывается, положительный, и поэтому здесь нельзя указать и отбросить весь «хвост». Вдруг он в своей сумме окажется больше, чем 0,001? В этой связи используем более хитрый метод оценки. Сохранив «на всякий случай» подозрительно большой 3-й член, рассмотрим остаток ряда:

Числа 9, 11, 13, … в знаменателях меняем на 7 – тем самым только увеличивая члены, а значит, и всю сумму остатка:

Далее выполняем обычные алгебраические преобразования и находим сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии по формуле :

По-научному, это называется подбором мажорантного сходящегося ряда (в данном случае – геом. прогрессии), сумму которого легко отыскать (или которая известна). И план оказался не только выполнен, но и перевыполнен! Отбрасывая все члены ряда, начиная с 4-го, будет гарантирована точность 0,00002! Впрочем, по условию результат всё равно нужно округлить до трёх знаков после запятой:

Ответ: с точностью до 0,001

Ну и осталось с чувством голубого морального удовлетворения свериться с более точным значением .

…А может быть, было проще вычислить сумму 12 членов медленно сходящегося ряда? =) Впрочем, в следующем задании такой возможности уже не будет в принципе:

Вычислить с точностью до 0,001

– по той причине, что значение не входит в область сходимости ряда .

Статья начиналась с приближённого вычисления числа «е», и закончим мы её другой знаменитой константой:

Приближённое вычисление числа с помощью ряда

О «пи» исписаны километры бумаги и сказаны миллионы слов, поэтому я не буду загружать вас историей, теорией и гипотезами, если интересно (а это и на самом деле интересно), обратитесь, например, к Википедии. Данное число обладает бесконечным количеством знаков после запятой: , и теория рядов предоставляет один из эффективных способов нахождения этих цифр:

Используя значение и разложение арктангенса в ряд Маклорена вычислить приближённо число , используя первые пять членов ряда. Оценить количество верных знаков.

Решение: запишем первые пять членов разложения в ряд арктангенса:

В данном случае :

В результате , откуда легко выразить приближённое значение:

Ответ: , данный способ даёт два верных знака после запятой.

Очевидно, что чем больше членов ряда рассмотреть, тем точнее будет найдено число «пи». Кроме того, существуют значительно более быстро сходящиеся ряды, позволяющие малым количеством слагаемых получить очень высокую точность.

На сегодня найдены многие миллиарды верных цифр после запятой, в последовательности которых не обнаружено каких-либо закономерностей. Доходит до того, что всевозможные экстрасенсы и философы считают, что в данном числе зашифровано всё-всё-всё на белом свете.

А если откинуть мистику, то вычисление чисел «е», «пи» и других констант имеет важное прикладное значение, так, например, в астрономических расчётах с гигантскими числами верный 20-й знак после запятой может играть существенную и даже принципиальную роль.

Да будут потёрты клавиши вашего калькулятора =)

Решения и ответы:

Пример 3: Решение: используем разложение .
В данном случае :

Ответ: с точностью до 0,001

Пример 4: Решение: используем разложение . Вычислим сумму двух первых членов ряда: . Так как ряд является знакочередующимся, то абсолютная погрешность не превзойдёт по модулю третьего члена:
Ответ: , абсолютная погрешность вычислений – не более чем

Пример 6: Решение: преобразуем радикал:

Используем частный случай биномиального разложения:
, в данном случае – принадлежит области сходимости ряда.

Ответ:

Пример 8: Решение: для самопроверки вычислим данное значение на калькуляторе: .
Используем разложение: .
Представим аргумент в виде обыкновенной дроби и найдём :

Таким образом:

Предполагая, для достижения требуемой точности будет достаточно 3 членов, оценим остаток ряда:

Числа 9, 11, 13… заменим на 7, тем самым только увеличив члены ряда. Выполним преобразования и найдём сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии :

Таким образом, первые три члена ряда гарантируют требуемую точность:

Ответ: с точностью до 0,001

Автор: Емелин Александр

Блог Емелина Александра

(Переход на главную страницу)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *