Что такое инъективное отображение
Перейти к содержимому

Что такое инъективное отображение

  • автор:

Отображения. Инъективные и сюръективные отображения

Если указан закон, сопоставляющий каждому элементу множества А единственный элемент множества В, то говорят, что имеется однозначное отображение АВ.

Отображение АВ называется инъективным, если разные элементы множестваA переходят в разные элементы множества B: если а в, то .

Отображение АВ называется сюръективным, если каждый элемент множества В имеет свой прообраз в множестве А.

Если отображение одновременно инъективное и сюръективное, то оно называется биективным.

1. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x 2 -1 (рис.3). Определить, является ли отображение f инъективным, сюръективным, биективным.

Область определения функции – R, область значений функции – [-1;+).

  1. f – отображение. Если (х,у) f и (х,z) f , то y = z, так как (x,y)f, т.е. y = x 2 -1, (x,z)f, т.е. z = x 2 -1.
  2. Найдутся х1, х2R, такие что х1х2, но: f(x1) = f(x2), например, пусть х1 = 1, х2 = -1, тогда f(x1) = 0 и f(x2) = 0, т.е. х1х2, а f(x1) = f(x2). Таким образом, это неинъективное отображение.
  3. Так как область значений функции [1;+ ) не совпадает сR, то отображение несюръективно.

2. Пусть f: RR задано формулой f(x) = x 4 . Является ли отображение инъективным, сюръективным?

  1. Поскольку х1=2R, х2 = -2R, f(2) = f(-2) = 16, т.е. х1х2, а f(x1) = f(x2), то отображение неинъективно.
  2. Для любого xR не существует f(х), такого что f(х) = -16, так как х 4 -16, поэтому отображение несюръективно.

3. Пусть отображение f: [0;+)[0;+) задано формулойf(x)=x 2 . Является ли оно инъективным, сюръективным?

  1. Для любых х1, х2[0;+), х1х2, f(x1)=x1 2 , f(x2)=x2 2 , но f(x1) f(x2), т.е для каждого х существует единственное f(x), следовательно, f(х) — инъективное отображение.
  2. Для каждого значения f(x)[0;+) найдётся х[0;+), поэтомуf(х) — сюръективное отображение.

из 1. и 2. следует, что отображение биективно.

Отношение эквивалентности

Всякое подмножество Г декартова произведения АхА называется отношением на множестве А.Отношение Г называют рефлексивным, еслиaГа для всехaA.Отношение Г называют симметричным, если аГbbГа.Отношение Г называют транзитивным, если аГb,bГааГс.Если отношение рефлексивно, симметрично, транзитивно, то оно называется отношением эквивалентности.1. Проверить, является ли D отношением эквивалентности на R, если D=<(x;y)| sin x = sin y>.

  1. D – рефлексивно, так как для любого R ()D, т.е. для любого xR имеем sin x = sin x.
  2. D – симметрично, так как для любой пары (,)D имеем ()D, т.е. для любых R из (x,y)D следует, что sin x = sin y, тогда и sin y = sin x, следовательно, (y,x)D.
  3. D – транзитивно, так как для любых а,b,cR из того что ()D и ()D следует, что ()D, т. е. если (x,y)D, то sinx=siny, если (y,z)D, то sin y = sin z, тогда sin x=sin z, следовательно, (x,z) D.

Из 1., 2., 3. следует, что D – отношение эквивалентности на R (где R – множество действительных чисел). 2.Упражнение. Выяснить, является ли отношением эквивалентности, если ху = <(x,y)| x = 3y>.

Инъективное отображение

F:X\to Y

Отображение называется инъекцией (или вложением, или взаимно однозначным отображением в множество Y ), если разные элементы множества X переводятся в разные элементы множества Y .

F(x)=F(y) \Rightarrow x=y

Формально это значит, что если два образа совпадают, то совпадают и прообразы (). Инъективность является необходимым условием биективности (достаточно вместе с сюръективностью).

Инъекцию можно также определить как отображение, для которого существует левое обратное, то есть F:X\to Yинъективно, если существует G:Y\to Xтакое, что G\circ F=\operatorname<id>_X» width=»» height=»» />.</p>
<h3>Примеры</h3>
<ol>
<li><img decoding=— инъективно.

  • F:\R\to\R_+,\;F(x)=x^2— не является инъективным ( F( — 2) = F(2) = 4 ).
  • См. также

    Литература

    • Н. К. Верещагин, А.Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.
    • Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика: Учебное пособие. — 3-е, стереотип. изд. — СПб.: «Лань», 2004—336 с.

    Wikimedia Foundation . 2010 .

    Виды отображений

    Пусть %%f%% — отображение множества %%X%% в множество %%Y%%.

    Инъективное отображение

    Отображение %%f%% называется инъективным,

    если для любых элементов %%x_1, x_2 \in X%%, %%x_1 \neq x_2%%, следует, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%. $$ \forall x_1, x_2 \in X~~x_1 \neq x_2 \rightarrow f(x_1) \neq f(x_2). $$

    Другими словами, отображение %%f%% инъективно, если образы различных элементов из %%X%% также различны.

    Пример

    Функция %%f(x) = x^2%%, определенная на множестве %%\mathbb%%, не является инъективной, так как при %%x_1 = -1, x_2 = 1%% получаем одно и тоже значение функции %%f(x_1) = f(x_2) = 1%%.

    Сюръективное отображение

    Отображение %%f%% называется сюръективным, если для всякого элемента %%y \in Y%% существует элемент %%x \in X%% с условием, что %%f(x) = y%%. $$ \forall y \in Y~\exists x \in X : f(x) = y. $$

    Другими словами, отображение %%f%% сюръективно, если каждый элемент %%y \in Y%% является образом хотя бы одного элемента %%x \in X%%.

    Пример

    Отображение %%f(x) = \sin(x)%%, определенное на множестве %%\mathbb R%%, с множеством %%Y = [-2,2]%% не является сюръективным, т.к. для элемента %%y = 2 \in Y%% нельзя найти прообраз %%x \in X%%.

    Биективное отображение

    Отображение %%f%% называется биективным, если оно инъективно и сюръективно. Биективное отображение также называется взаимно однозначным или преобразованием.

    Обычно, словосочетания «инъективное отображение», «сюрьективное отображение» и «биективно отображение» заменяют на «инъекция», «сюръекция» и «биекция» соответственно.

    Обратное отображение

    Пусть %%f: X \to Y%% — некоторая биекция и пусть %%y \in Y%%. Обозначим через %%f^(y)%% единственный элемент %%x \in X%% такой, что %%f(x) = y%%. Тем самым мы определим некоторое новое отображение %%g: Y \to X%%, которое снова является биекцией. Ее называют обратным отображением.

    Пример

    Пусть %%X, Y = \mathbb R%% — множество действительных чисел. Функция %%f%% задана формулой %%y = 3x + 3%%. Имеет ли данная функция обратную? Если да, то какую?

    Для того чтобы узнать имеет ли данная функция обратную ей, необходимо проверить является ли она биекцией. Для этого проверим является ли данное отображение инъективным и сюръективным.

    1. Проверим инъекцию. Пусть %%x_1 \neq x_2%%. Проверим, что %%f(x_1) \neq f(x_2)%%, то есть %%3 x_1 + 3 \neq 3 x_2 + 3%%. Предположим противное, %%3 x_1 + 3 = 3 x_2 + 3%%. Тогда получается, что %%x_1 = x_2%%. Получили противоречие, т.к. %%x_1 \neq x_2%%. Следовательно, .
    2. Проверим сюръекцию. Пусть %%y \in Y = \mathbb%%. Найдем элемент %%x \in X = \mathbb%% c условием, что %%f(x) = y%%, то есть %%3x + 3 = y%%. В данном равенстве задан элемент %%y \in \mathbb%% и нужно найти элемент %%x%%. Очевидно, что $$ x = \frac\text < и >x \in \mathbb R $$ Следовательно, отображение %%f%% сюръективно.

    Так как %%f%% — инъекция и сюръекция, то %%f%% — биекция. И, соответственно, обратным отображением является %%x = \frac%%.

    Отображения

    [math] f: A \rightarrow B [/math] — отображение из [math]A[/math] в [math]B[/math] .

    Определение:
    Если A и B состоят из чисел, f называется функцией.

    Отображение состоит из трех объектов: множества A(откуда), множества B(куда) и правила f(как).

    Связанные понятия

    [math] f : A \rightarrow B [/math] [math] C \subset A [/math] [math] g : C \rightarrow B [/math] [math] \forall c \in C : g(c) = f(c) [/math]

    Тогда, g — сужение f на C, [math] g = f \big|_C [/math]

    [math] A = D(f) [/math] — область определения f

    [math] R(f) = \ < b | b = f(a), a \in A \>[/math] — область значений f

    [math] C \subset A ; f(C) = \ [/math] — образ множества C при отображении f

    [math] D \subset B ; f^(D) = \ < a| a \in A, f(a) \in D \>[/math] — прообраз множества D при отображении f

    Определение:
    Отображение [math]f^: B \rightarrow A[/math] называется обратным отображением для f.

    Термины «прямое» и «обратное» отображения взаимны.

    Свойства отображений

    Инъективное отображение — переводит разные элементы A в разные элементы B:

    [math] \forall a_1, a_2 \in A: a_1\ne a_2 \Rightarrow f(a_1) \ne f(a_2) [/math]

    Сюръективное отображение(на множестве B) — каждый элемент множества B является образом хотя бы одного элемента множества A:

    [math] \forall b \in B: \exists a : b = f(a) [/math]

    Биективное отображение — инъекция + сюръекция — взаимно однозначное соответствие, обладает двумя предыдущими свойствами.

    См. также

    Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *