Что такое особая точка
Перейти к содержимому

Что такое особая точка

  • автор:

Особая точка

Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка в которой функция недифференцируема).

Особенности в комплексном анализе

Основная статья: Особенность (комплексный анализ)

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (более общо: аналитических) функций — точки комплексной плоскости, в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна, но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе

Функция f(x) = 1 / x имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева (точка разрыва второго рода). · Функция g(x) = | x | также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.
График, определённый выражением y 2 = x , имеет в нуле особенность — вертикальную касательную. Кривая, заданная уравнением y 2 = x 3 + x 2 , имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Wikimedia Foundation . 2010 .

  • Улица Академика Павлова
  • Краматорский металлургический завод

Полезное

Смотреть что такое «Особая точка» в других словарях:

  • ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в к рой нарушаются условия аналитичности. Если аналитическаяфункция f(z )задана в нек рой окрестности точки z0 всюду … Физическая энциклопедия
  • ОСОБАЯ ТОЧКА — аналитической функции точка, в которой нарушается аналитичность функции … Большой Энциклопедический словарь
  • особая точка — — [Я.Н.Лугинский, М.С.Фези Жилинская, Ю.С.Кабиров. Англо русский словарь по электротехнике и электроэнергетике, Москва, 1999] Тематики электротехника, основные понятия EN singular point … Справочник технического переводчика
  • Особая точка — в математике. 1) Особая точка кривой, заданной уравнением F (x, у) = 0, точка М0(х0, y0), в которой обе частные производные функции F (x, у) обращаются в нуль: Если при этом не все вторые частные производные… … Большая советская энциклопедия
  • ОСОБАЯ ТОЧКА — 1) О. т. аналитической функции f(z) препятствие для аналитического продолжения элемента функции f(z) комплексного переменного zвдоль какого либо пути на плоскости этого переменного. Пусть аналитическая функция f(z) определена некоторым… … Математическая энциклопедия
  • особая точка — аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции. * * * ОСОБАЯ ТОЧКА ОСОБАЯ ТОЧКА аналитической функции, точка, в которой нарушается аналитичность функции … Энциклопедический словарь
  • особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point particulier, m; point singulier, m … Automatikos terminų žodynas
  • особая точка — ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. singular point vok. singulärer Punkt, m rus. особая точка, f pranc. point singulier, m … Fizikos terminų žodynas
  • Особая точка функции — Особая точка указывает сюда. См. также особая точка (дифференциальные уравнения). Особенность или сингулярность в математике это точка, в которой математический объект (обычно функция) не определён или имеет нерегулярное поведение (например,… … Википедия
  • Особая точка дифференциального уравнения — У термина «особая точка» существуют и другие значения. В математике, особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Траектория соответствующего автономного обыкновенного дифференциального уравнения,… … Википедия
  • Обратная связь: Техподдержка, Реклама на сайте
  • �� Путешествия

Экспорт словарей на сайты, сделанные на PHP,
WordPress, MODx.

  • Пометить текст и поделитьсяИскать в этом же словареИскать синонимы
  • Искать во всех словарях
  • Искать в переводах
  • Искать в ИнтернетеИскать в этой же категории

Что такое особая точка

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Точка называется изолированной особой точкой (особенностью) комплексной функции , если в функция не задана или не голоморфна, но существует число такое, что в функция голоморфна.

Примеры: а) в точке не определена, но в , она голоморфна. Значит, – изолированная особая точка функции .

б) определена на , но производная существует всюду, кроме точки . Значит, – изолированная особая точка функции .

в) голоморфна в, но не голоморфна в, поскольку не имеет производной в . Значит, z=∞ — изолированная особая точка функции z.

г) голоморфна в , кроме точек , являющихся изолированными особыми точками котангенса. Точка является примером неизолированной особой точки, поскольку она – предельная точка изолированных особенностей и, следовательно, нет окрестности , где – голоморфная функция.

Понятие особой точки позволяет дополнить теорему 25 полезным фактом: радиус сходимости ряда Тейлора комплексной функции в точке равен расстоянию от нее до ближайшей особой точки, а теорему 28 фактом: на окружности есть хотя бы одна особая точка.

В дальнейшем мы многократно сможем убедиться, что индивидуальные свойства голоморфных функций связаны с их особыми точками. В определенном смысле можно сказать, что основная информация о голоморфных функциях содержится в окрестностях особых точек.

Особая точка (дифференциальные уравнения)

В математике особой точкой векторного поля называется точка, в которой векторное поле равно нулю. Особая точка векторного поля является положением равновесия или точкой покоя динамической системы, определяемой данным векторным полем: фазовая траектория с началом в особой точке состоит в точности из этой особой точки, а соответствующая ей интегральная кривая представляет собой прямую, параллельную оси времени.

В любой малой окрестности фазового пространства, не содержащей особых точек, векторное поле можно выпрямить подходящей заменой координат — тем самым, поведение системы вне особых точек устроено очень просто. Напротив, в окрестности особой точки система может обладать очень сложной динамикой. Говоря о свойствах особых точек векторных полей, обычно подразумевают свойства соответствующей системы в малой окрестности особой точки.

Особые точки векторных полей на плоскости

Простейшими примерами особых точек являются особые точки линейных векторных полей на плоскости. С понятием векторного поля на плоскости можно связать линейную систему дифференциальных уравнений вида:

\dot x=Ax

,

где x=(x_1,x_2)— точка на плоскости, A— матрица 2\times 2. Очевидно, точка x=(0,0)в случае невырожденной матрицы Aявляется единственной особой точкой такого уравнения.

A

В зависимости от собственных значений матрицы , различают четыре типа невырожденных особых точек линейных систем: узел, седло, фокус, центр.

Тип собственных значений Тип особой точки Тип фазовых траекторий Вид фазовых траекторий
Чисто мнимые Центр окружности, эллипсы
Комплексные с отрицательной действительной частью Устойчивый фокус Логарифмические спирали
Комплексные с положительной действительной частью Неустойчивый фокус Логарифмические спирали
Действительные отрицательные Устойчивый узел параболы
Действительные положительные Неустойчивый узел параболы
Действительные разных знаков Седло гиперболы
  • Дифференциальные уравнения
  • Динамические системы

Wikimedia Foundation . 2010 .

Особая точка дифференциального уравнения

Математика

d y d x = P ( x , y ) Q ( x , y ) , (*) \dfrac = \dfrac, \tag d x d y ​ = Q ( x , y ) P ( x , y ) ​ , ( * ) где P P P и Q Q Q – непрерывно дифференцируемые функции . Предполагая особую точку расположенной в начале координат и используя формулу Тейлора , уравнение ( ∗ ) (*) ( ∗ ) можно представить в виде

d y d x = γ x + δ y + P 1 ( x , y ) α x + β y + Q 1 ( x , y ) , \dfrac=\dfrac<\gamma x+\delta y +P_1(x,y)>, d x d y ​ = αx + β y + Q 1 ​ ( x , y ) γ x + δy + P 1 ​ ( x , y ) ​ , где P 1 ( x , y ) P_1(x,y) P 1 ​ ( x , y ) и Q 1 ( x , y ) Q_1(x,y) Q 1 ​ ( x , y ) – бесконечно малые по отношению к x 2 + y 2 \sqrt x 2 + y 2

​ . Характер поведения интегральных кривых около особой точки зависит от корней λ 1 \lambda_1 λ 1 ​ и λ 2 \lambda_2 λ 2 ​ характеристического уравнения

∣ α − λ β γ δ − λ ∣ = 0. \begin \alpha-\lambda & \beta\\ \gamma & \delta-\lambda\\ \end = 0.

​ = 0. Точнее, если λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ 1 ​  = λ 2 ​ и λ 1 λ 2 > 0 \lambda_1\lambda_2 \gt 0 λ 1 ​ λ 2 ​ > 0 или λ 1 = λ 2 \lambda_1=\lambda_2 λ 1 ​ = λ 2 ​ , то особая точка есть узел; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности узла, входят в него. Если λ 1 ≠ λ 2 \lambda_1 \neq \lambda_2 λ 1 ​  = λ 2 ​ и λ 1 λ 2 < 0 \lambda_1\lambda_2 \lt 0 λ 1 ​ λ 2 ​ < 0 , то особая точка есть седло ; в окрестности седла четыре интегральные кривые ( сепаратрисы ) входят в особую точку, а между ними располагаются интегральные кривые типа гиперболы . Если λ 1 , 2 = − a ± i b \lambda_=-a \pm ib λ 1 , 2 ​ = − a ± ib , a ≠ 0 a \neq 0 a  = 0 , b ≠ 0 b \neq 0 b  = 0 , то особая точка есть фокус; все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности фокуса, представляют собой спирали с бесконечным числом витков в любой сколь угодно малой окрестности фокуса. Если, наконец, λ 1 , 2 = ± i b \lambda_=\pm ib λ 1 , 2 ​ = ± ib , b ≠ 0 b \neq 0 b  = 0 , то характер особой точки не определяется одними линейными членами в разложениях P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) и Q ( x , y ) Q(x,y) Q ( x , y ) , как это имело место во всех перечисленных случаях; здесь особая точка может быть фокусом или центром, а может иметь и более сложный характер. В окрестности центра все интегральные кривые являются замкнутыми и содержат центр внутри себя.

Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения

Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения. Рис. 1. Особая точка дифференциального уравнения.

Так, например, начало координат является узлом для уравнений y ′ = 2 y / x y’=2y/x y ′ = 2 y / x ( λ 1 = 1 \lambda_1=1 λ 1 ​ = 1 , λ 2 = 2 \lambda_2=2 λ 2 ​ = 2 ; рис. 1, а) и y ′ = y / x y’=y/x y ′ = y / x ( λ 1 = λ 2 = 1 \lambda_1=\lambda_2=1 λ 1 ​ = λ 2 ​ = 1 ; рис. 1, б), седлом для уравнения y ′ = − y / x y’=-y/x y ′ = − y / x ( λ 1 = − 1 \lambda_1=-1 λ 1 ​ = − 1 , λ 2 = 1 \lambda_2=1 λ 2 ​ = 1 ; рис. 2), фокусом для уравнения y ′ = ( x + y ) / ( x − y ) y’=(x+y)/(x-y) y ′ = ( x + y ) / ( x − y ) ( λ 1 = 1 − i \lambda_1=1-i λ 1 ​ = 1 − i , λ 2 = 1 + i \lambda_2=1+i λ 2 ​ = 1 + i ; рис. 3) и центром для уравнения y ′ = − x / y y’=-x/y y ′ = − x / y ( λ 1 = − i \lambda_1=-i λ 1 ​ = − i , λ 2 = i \lambda_2=i λ 2 ​ = i ; рис. 4).

Если Δ = ∣ α β γ δ ∣ = 0 \Delta= \begin \alpha & \beta\\ \gamma & \delta\\ \end= 0 Δ =

Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения

​ = 0 , то особая точка называется особой точкой высшего порядка. Особые точки высшего порядка могут принадлежать к указанным типам, но могут иметь и более сложный характер. В случае когда функции P ( x , y ) P(x,y) P ( x , y ) и Q ( x , y ) Q(x,y) Q ( x , y ) аналитические , окрестность особой точки высшего порядка может распадаться на области: D 1 D_1 D 1 ​ – заполненные интегральными кривыми, обоими концами входящими в особую точку (эллиптические области), D 2 D_2 D 2 ​ – заполненные интегральными кривыми, одним концом входящими в особую точку (параболические области), и D 3 D_3 D 3 ​ – области, ограниченные двумя интегральными кривыми, входящими в особую точку, между которыми расположены интегральные кривые типа гипербол (гиперболические области) (рис. 5). Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения. Рис. 2, 3, 4, 5, 6. Особая точка дифференциального уравнения. Если нет интегральных кривых, входящих в особую точку, то особая точка называется точкой устойчивого типа. Окрестность устойчивой особой точки состоит из замкнутых интегральных кривых, содержащих особую точку внутри себя, между которыми расположены спирали (рис. 6).

Изучение особых точек дифференциальных уравнений, т. е. по существу изучение поведения семейств интегральных кривых в окрестности особой точки, составляет один из разделов качественной теории дифференциальных уравнений и играет важную роль в приложениях, в частности в вопросах устойчивости движения .

Редакция математических наук

Опубликовано 30 августа 2022 г. в 20:56 (GMT+3). Последнее обновление 30 августа 2022 г. в 20:56 (GMT+3). Связаться с редакцией

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *