Доказать что множество целых чисел счетно
Перейти к содержимому

Доказать что множество целых чисел счетно

  • автор:

Доказать, что множество счетно

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, если у кого-нибудь есть идеи, то дайте хотя подсказку. Доказать, что множество всех бесконечных последовательностей из 0,1 и 2, в которых 0,1 встречаются конечное число раз, счетно.

94731 / 64177 / 26122
Регистрация: 12.04.2006
Сообщений: 116,782
Ответы с готовыми решениями:

Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных чисел счетно
Можно ли утверждать, что множество всех положительных пятизначных чисел счетно? Ответ обосновать

Доказать, что множество A является подмножеством B
Доказать, что множество A является подмножеством множества B тогда и только тогда, когда любой.

Доказать, что множество является решёткой.
Рассмотрим множество L=N*B, где N – множество натуральных чисел, а В=. Положим (n,i)<=(m,j).

Доказать, что множество образует решетку
Дано множество L = \>^ . Установлено отношение: (a;b;c) \preceq (d;e;f) тогда и только.

Эксперт по математике/физике

4166 / 3038 / 914
Регистрация: 19.11.2012
Сообщений: 6,182

Я бы каждой такой последовательности поставил в соответствие рациональное число по такому правилу
0.a(2), где после десятичной точки стоит последовательность а, состоящая из 0,1,2, но за нею идут только двойки. Легко понять, что тем самым установлена биекция нашего множества последовательностей на подмножество рациональных чисел.

Регистрация: 18.11.2013
Сообщений: 337

kabenyuk, а если рассмотреть не множество рациональных чисел, а просто подмножество последовательностей из 0,1, 2 бесконечного множества, если например L=-это множество последовательностей из 0,1 ,2, а подмножество будет конченое так как у нас 0,1 конечно l(i)=, но только как сюда приписать 2, я не знаю, ну вот, а потом мы получим что L=объединение l(i), где l(i) конечное подмножество и тогда это объединение будет счетное множество, это так вообще, я просто не могу понять ваше рассуждение с рациональными числами

Глава 1 Счётные и несчётные множества

Рассмотрим ряд примеров на определение счётности/несчётности множеств:

  1. \(\mathbb\) = ;
  2. \(\mathbb\) = ;
  3. \(\mathbb\) = < \(\frac\) | \(m\in\mathbb\) , \(n\in\mathbb\) > ;
  4. \(\mathbb\) – множество действительных чисел;
  5. Точки на плоскости с целыми координатами;
  6. [0 ; 1] ;
  7. [0 ; 1] \(\times\) [0 ; 1] = < (x, y) | \(x\in\) , \(y\in\) >;
  8. Множество бесконечных последовательностей из нулей и единиц.

Будет рассматривать эти примеры в ходе изложения в порядке их нумерации.

1.1 Счётное множество

Определение:
Счётное множество — это либо конечное, либо равномощное натуральным числам множество (иными словами, каждому элементу можно сопоставить натуральное число взаимно однозначно, то есть так, что ни один элемент в таких множествах не будет пропущен).

  1. Элементы множества натуральных чисел можно пронумеровать, следовательно множество \(\mathbb\) — счетно.
  2. По определению счетного множества, множество целых чисел \(\mathbb\) — счётно, так как целые числа можно расположить в виде последовательности 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, … . Иными словами, можно привести взаимнооднозначное соответствие между целыми и натуральными числами, например, таким способом (см. рисунок):
    \(0\leftrightarrow1\)
    \(1\leftrightarrow2\)
    \(-1\leftrightarrow3\)
    \(2\leftrightarrow4\)
    \(-2\leftrightarrow5\)
    \(3\leftrightarrow6\)
plot(c(-5:5), c(-5:5), type = 'n', xlab = "", ylab = "", xaxt = "n", yaxt = "n") axis(1, at = -5:5, labels = -5:5) axis(2, at = -5:5, labels = -5:5) x1 rep(c(0.5, 0), 3) r seq(1:6) / 2 for (i in 1:6) < curve(sqrt((r[i])^2 - (x - x1[i])^2), x1[i] - r[i], x1[i] + r[i], add = TRUE) if (i %% 2 == 1) < arrows(x1[i] + r[i], 0.01, x1[i] + r[i], 0, length = 0.1) > else < arrows(x1[i] - r[i], 0.01, x1[i] - r[i], 0, length = 0.1) > > arrows(-5, 0, 5, 0, col = "blue") arrows(0, -5, 0, 5, col = "blue") abline(h = -5:5, v = -5:5, lty = 3, col = "gray")

  1. Докажем счетность множества рациональных чисел:
    Расположим рациональные числа в виде таблицы, строку которой с номером n образуют дроби со знаменателем n. Нумеруем по прямоугольникам, начиная с нуля и пропуская при этом числа, которые уже получили номер ранее. Так, любое рациональное число получит некоторый номер, что доказывает счетность множества рациональных чисел.

1.2 Сравнимость мощностей

Утверждение: Если множество А равномощно подмножеству В, то либо мощность А меньше мощности В, либо А и В равномощны.

  1. Из курса высшей алгебры:
    Для доказательства счетности множества предположим противное. Пусть множество \(\mathbb\) состоит из чисел a1,a2,…,an,…. Рассмотрим дробные части \(\alpha\) n чисел an, 0 < \(\alpha\) n< 1, расположим в виде таблицы:
    \(\alpha\) 1 = 0, \(\alpha\) 11, \(\alpha\) 12, …, \(\alpha\) 1n, …
    \(\alpha\) 2 = 0, \(\alpha\) 21, \(\alpha\) 22, …, \(\alpha\) 2n, …

    Чтобы опровергнуть гипотезу о счетности множества \(\mathbb\) , приведем пример числа a, отличного от всех чисел a1,a2,…,an,… .
    Рассмотрим число \(\beta\) = 0, \(\beta\) 1, \(\beta\) 2, …, \(\beta\) n, … . Пусть \(\beta_1\ne\alpha_\) , \(\beta_2\ne\alpha_\) , …, \(\beta_n\ne\alpha_\) , тогда \(\beta_k\ne\alpha_k\) , k = 1,2,…,n,…, т.е. это число не совпадает ни с одним из чисел a1,a2,…,an,…, что означает, что наше предположение о том, что все числа множества \(\mathbb\) удалось пронумеровать, привело к противоречию, и множество несчетно.

Кроме того, \(\mathbb\) ~ [0 ; 1] — это несчетные множества с одинаковой мощностью. Однако как можно показать, что \(\mathbb\) не мощнее [0 ; 1] ? Для наглядности можно использовать график арктангенса. Преобразуем его до вида \(atan(x)/pi+1/2\) . Видно, что его асимптоты будут иметь координаты 0 и 1 по оси ординат. Также видно, что каждой точке на оси X (эквивалентно множеству \(\mathbb\) ) соответствует значение на оси Y, причем каждое из соответствующих значений лежит в промежутке от нуля до единицы. Таким образом, \(\mathbb\) ~ (0 ; 1).

curve(atan(x)/pi + 1/2, from = -10, to = 10, main = "График arctg(x)/pi+1/2", xlab = "x", ylab = "ArcTg(x)") abline(v = 0, col = "red") abline(h = 1, lty = 2, col = "red") abline(h = 0, lty = 2, col = "red") abline(h = 0:40/20, v = -20:20/2, lty = 3, col = "gray") x1 tan((1/4 - 1/2)*pi) arrows(x1, 1/4, 0, 1/4) arrows(x1, atan(x1)/pi + 1/2, x1, 0)

  1. Проведем в данном случае аналогию с точками на плоскости. Так, например, можно двигаться “по спирали”, пересчитывая тем самым все точки на этой плоскости.
    Во избежание путаницы, важно отметить, что в рамках этого способа \((-3,-1)\ne(-6,-2)\) , в то время как \(\frac=\frac\) .
plot(c(-5:5), c(-5:5), type = "n", xlab = "", ylab = "") arrows(-5, 0, 5, 0, length = 0.25, col = "blue") arrows(0, -5, 0, 5, length = 0.25, col = "blue") abline(h = -5:5, v = -5:5, lty = 3, col = "gray") x c(0, 1, 1, -1, -1, 2, 2, 1:-2, -2, -2, -2, -2:3) y c(0, 0, 1, 1, -1, -1, 2, 2, 2, 2, 2:-2, -2, -2, -2, -2, -2) s seq(6) arrows(x[s], y[s], x[s + 1], y[s + 1], length = 0.15, angle = 20) s seq(14) + 7 points(x[s], y[s], pch = 16)

  1. Отрезок [0,1] равномощен множеству всех бесконечных последовательностей нулей и единиц, то есть является несчетным множеством. Подробнее см. в учебнике Н.К.Верещагина и А.Шень Начала теории множеств.
  2. [0 ; 1] \(\times\) [0 ; 1] — декартов квадрат; он обладает большей мощностью, чем отрезок [0 ; 1], который является несчетным множеством. Заключаем, что [0 ; 1] \(\times\) [0 ; 1] — несчетное множество.
  3. Пусть есть некоторое множество А, состоящее из последовательностей 0 и 1. Рассмотрим такие последовательности и пронумеруем их:
    \(1\leftrightarrow <\underline<0>,1,0,1,0,1,0,1. >\in A\)
    \(2\leftrightarrow<0,\underline<0>,0,1,0,0,0,1. >\in A\)

    Во множестве А содержится бесконечное количество элементов — последовательностей из 0 и 1.

1.3 Доказательство от принцессы

Утверждение: А — несчетно.
Доказательство от принцессы: Тому, кто приведет взаимнооднозначное соответствие между множеством А и множеством натуральных чисел \(\mathbb\) , полагается сердце и полцарства в придачу!
Пусть пришел индийский принц. Принц развернул длинный список, и она видит, что он пронумеровал бесконечно много последовательностей из нулей и единиц. Что будет делать принцесса? Предположим, что в его списке, помимо отмеченных нами последовательностей №1 и №2, присутствуют и такие последовательности:
\(3\leftrightarrow <1,1,\underline<1>,1,1,1,1,1. >\in A\)
\(4\leftrightarrow<0,0,0,\underline<0>,0,0,0,0. >\in A\) .
Чтобы принцу ничего не досталось, принцесса меняет значение i-го элемента i-го списка на противоположное (0 на 1 и 1 на 0 соответственно). Это можно сделать в каждой последовательности, тогда

\(101\leftrightarrow<. \underline<1>>\in A\)

И такая измененная последовательность не может быть у него ни под каким номером.
Пусть пришел и арабский принц. Принцесса проводит аналогичную операцию по замене значения i-го элемента i-го списка на противоположное:
\(1\leftrightarrow <\underline<1>,1,1,1,1,1,1,1,1,1. >\in A\)
\(2\leftrightarrow<1,\underline<0>,1,0,0,1,0,0,0,1. >\in A\)
\(3\leftrightarrow<. \underline< >. >\in A\)
Аналогичный результат и со списком второго принца. Таким образом, мы можем сделать вывод, что такого взаимнооднозначного соответствия не существует, и принцесса может отказать любому принцу! Отсюда следует, что множество А не равномощно множеству \(\mathbb\) .
Пояснение: A > \(\mathbb\) :
\(1\leftrightarrow\in A\)
\(2\leftrightarrow\in A\)
\(3\leftrightarrow\in A\)
\(4\leftrightarrow\in A\)

1.4 Мораль

  1. Счетные множества — это конечные + равномощные множеству \(\mathbb\) ( \(\mathbb\) , \(\mathbb\) , \(\mathbb\times\mathbb\) ) ;
  2. Несчетная мощность > Счетная мощность : \(\mathbb\) , [0 ; 1] , ( 0 ; 1 ) , [0 ; 1] \(\times\) [0 ; 1] ;
  3. Бесконечности бывают разные: одна больше, другая меньше…
    card \(\mathbb\) < card \(\mathbb\) < card < Все подмножества прямой >< …
    \(\Uparrow\)
    Это самая маленькая бесконечность — она является счетным множеством.
    card ~ cardinality

Научный форум dxdy

В интернете говорят, что множества счетны если их можно «пронумеровать».Каким же образом?
По определению множество $F$счетно, если $F\sim\mathbb<N>$» />, то есть <img decoding=и сколько их?Можете дать совет как находить такие «правила» для доказательства равномощности множеств.Объясняйте ,пожалуйста, не сложным языком, я пока только знакомлюсь с мат. анализом.

Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:35

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Anton_Peplov 16.02.2016, 22:37, всего редактировалось 1 раз.

Например, множество всех слов, составленных из букв русского алфавита, счетно (словом называем любой конечный набор букв, независимо от того, есть ли у него смысл). Нумеруем их так: выписываем в алфавитном порядке сначала все однобуквенные слова, затем все двухбуквенные и т.д.
а — 1
б — 2
.
я — 33
аа — 34
аб — 35
.
ая — 66
ба — 67
.
Таким образом, каждое слово имеет единственный номер, и каждому номеру соответствует единственное слово. Это и есть нужное правило.

Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:46

Последний раз редактировалось Rusit8800 16.02.2016, 22:49, всего редактировалось 1 раз.

Anton_Peplov в сообщении #1100002 писал(а):

Например, множество всех слов, составленных из букв русского алфавита, счетно (словом называем любой конечный набор букв, независимо от того, есть ли у него смысл). Нумеруем их так: выписываем в алфавитном порядке сначала все однобуквенные слова, затем все двухбуквенные и т.д.
а — 1
б — 2
.
я — 33
аа — 34
аб — 35
.
ая — 66
ба — 67
.
Таким образом, каждое слово имеет единственный номер, и каждому номеру соответствует единственное слово. Это и есть нужное правило.

А почему не дать такую нумеровку: 1.в 2.ипп 3.ба. или что-то в этом роде?
Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:47

Заслуженный участник

Rusit8800 в сообщении #1099999 писал(а):
множества счетны если их можно «пронумеровать».

Видимо, Вы хотите сказать: их элементы можно «пронумеровать» (не сами множества).
Для этого, по сути, достаточно найти перечисление элементов множества, гарантированно «выдающее» все элементы (желательно без повторений, но это требование не принципиально). И если существует хоть одно такое перечисление, то можно найти и бесконечно много других.
Например, множество целых чисел можно выписать в следующем порядке:
<img decoding=,1,-1,2,-2,3,-3. $» />
Представьте себе, чтоб под каждым элементом этой последовательности мы записали его номер:
',2,3,4. $
Тем самым будет построено биективное (взаимно-однозначное) отображение множества целых чисел на множество натуральных чисел, то есть, будет доказана счётность множества целых чисел.
Но общего рецепта для построения подобных отображений нет. Например, счётность множества рациональных чисел доказывается чуть более сложно.
Да, и конечно же, если Вам удастся построить в аналитическом виде (в виде формулы) функцию, которая вычисляет каждый элемент счётного множества по его номеру, это также служит доказательством счётности множества.
Например, для последовательности целых чисел, записанных так, как я указал выше, такую функцию построить несложно.

Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:50

Заслуженный участник

Rusit8800 в сообщении #1100007 писал(а):
Счетные множества бесконечны, а алфавит конечен, поэтому не счетен.
Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:52

Заслуженный участник

Rusit8800 в сообщении #1100007 писал(а):
Счетные множества бесконечны, а алфавит конечен, поэтому не счетен.

Rusit8800 ,
Вы лучше вдумывайтесь в то, что Вам говорят, раз уж просите помощи.
Алфавит конечен, но это не значит, что множество слов в алфавите конечно.
Натуральные числа — это «слова» в «алфавите» из 10 цифр. Разве отсюда следует, что множество натуральных чисел конечно?

Re: Счетные множества
16.02.2016, 22:52

Заслуженный участник

Последний раз редактировалось Anton_Peplov 16.02.2016, 23:16, всего редактировалось 3 раз(а).

Есть также полезная теорема, что подмножество счетного множества либо конечно, либо счетно. С помощью этой теоремы можно, например, сразу сказать, что множество всех натуральных чисел, делящихся на три, счетно. Впрочем, и указать правило для их нумерации тоже легко:
3 — первое число
6 — второе число
9 — третье число
.

Есть не менее полезная теорема: если взять конечную или счетную систему множеств $A$, $B$, . и все эти множества объединить, то результат объединения будет снова счетным множеством. С помощью этой теоремы можно, сразу сказать, что множество всех целых чисел счетно. Впрочем, и указать правило для их нумерации, опять же, легко:
0 — первое число
1 — второе число
-1 — третье число
2 — четвертое число
-2 — пятое число.
Можно придумать и другое правило нумерации. Главное, чтобы каждое число за конечное число шагов получило номер. Пытаться перенумеровать сначала все положительные числа, а потом все отрицательные, бессмысленно: ведь положительные никогда не закончатся. Как и в первом примере — с алфавитом — не получится перенумеровать сначала все слова, начинающиеся на «а», потом все слова, начинающиеся на «б» и т.д.

gris в сообщении #1100012 писал(а):

Интересно, а сколько различных способов пронумеровать счётное множество? То есть этих самых «правил».

Rusit8800 в сообщении #1100007 писал(а):
А почему не дать такую нумеровку: 1.в 2.ипп 3.ба. или что-то в этом роде?
На это я только что отвечал.
Anton_Peplov в сообщении #1100014 писал(а):

Можно придумать и другое правило нумерации. Главное, чтобы каждое число за конечное число шагов получило номер. Пытаться перенумеровать сначала все положительные числа, а потом все отрицательные, бессмысленно: ведь положительные никогда не закончатся. Как и в первом примере — с алфавитом — не получится перенумеровать сначала все слова, начинающиеся на «а», потом все слова, начинающиеся на «б» и т.д.

Счетные множества

Аннотация: Вводится понятие счетного множества, определяется несколько теорем с подробным доказательством. Что интересно, есть несколько замечаний к теоремам, которые решают тонкие вопросы, связанные с доказательством. Даются примеры счетных множеств для более глубокого понимания сути данной лекции. Некоторое количество задач для самостоятельного изучения. Также имеется небольшая историческая справка насчет теоремы: «Квадрат (с внутренностью) равномощен отрезку»

Множество называется счетным, если оно равномощно множеству \bb Nнатуральных чисел, то есть если его можно представить в виде \<x_0,x_1,x_2,\dots\>» /> (здесь <img decoding=— элемент, соответствующий числу i; соответствие взаимно однозначно, так что все x_iразличны).

Например, множество целых чисел \mathbb<Z>» /> счетно, так как целые числа можно расположить в последовательность <img decoding=, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \ldots

(а) Подмножество счетного множества конечно или счетно.

(б) Всякое бесконечное множество содержит счетное подмножество .

(в) Объединение конечного или счетного числа конечных или счетных множеств конечно или счетно.

Доказательство

(а) Пусть B— подмножество счетного множества A\hm=\<a_0,a_1,a_2,\dots\>» />. Выбросим из последовательности <img decoding=те члены, которые не принадлежат B(сохраняя порядок оставшихся). Тогда оставшиеся члены образуют либо конечную последовательность (и тогда Bконечно), либо бесконечную (и тогда Bсчетно).

(б) Пусть Aбесконечно. Тогда оно непусто и содержит некоторый элемент b_0. Будучи бесконечным, множество Aне исчерпывается элементом b_0— возьмем какой — нибудь другой элемент b_1, и т.д. Получится последовательность b_0, b_1, \dots; построение не прервется ни на каком шаге, поскольку Aбесконечно. Теперь множество B\hm=\<b_0,b_1,\dots\>» /> и будет искомым счетным подмножеством. (Заметим, что <img decoding=вовсе не обязано совпадать с A, даже если Aсчетно.)

(в) Пусть имеется счетное число счетных множеств A_1, A_2, \dotsРасположив элементы каждого из них слева направо в последовательность ( A_i\hm=\<a_<i0>,a_,\dots\>» /> ) и поместив эти последовательности друг под другом, получим таблицу</p><div class='code-block code-block-15' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 15joomlaumnik -->
<script src=

\begin</p>
<p> a_ & a_ & a_ & a_ & \ldots \\ a_ & a_ & a_ & a_ & \ldots \\ a_ & a_ & a_ & a_ & \ldots \\ a_ & a_ & a_ & a_ & \ldots \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \end» /></p>
<p>Теперь эту таблицу можно развернуть в последовательность, например, проходя по очереди диагонали:</p><div class='code-block code-block-16' style='margin: 8px 0; clear: both;'>
<!-- 16joomlaumnik -->
<script src=

a_<00></p>
<p>,\ a_, a_, \ a_, a_, a_, \ a_, a_, a_, a_, \ldots» /></p>
<p><img decoding=

Если множества не пересекались, то мы получили искомое представление для их объединения. Если пересекались, то из построенной последовательности надо выбросить повторения.

Если множеств конечное число или какие-то из множеств конечны, то в этой конструкции части членов не будет — и останется либо конечное, либо счетное множество.

29. Описанный проход по диагоналям задает взаимно однозначное соответствие между множеством всех пар натуральных чисел (которое обозначается \bbN\times\bbN) и \bbN. Любопытно, что это соответствие задается простой формулой (многочленом второй степени с рациональными коэффициентами). Укажите этот многочлен .

A

Замечание. В доказательстве утверждения (б) теоремы 2 есть тонкий момент: на каждом шаге мы должны выбрать один из оставшихся элементов множества ; такие элементы есть, но у нас нет никакого правила, позволяющего такой выбор описать. При более формальном построении теории множеств тут нужно сослаться на специальную аксиому, называемую аксиомой выбора. Законность этой аксиомы вызывала большие споры в начале 20-го века, но постепенно к ней привыкли, и эти споры сейчас почти не воспринимаются. В середине века великий логик Курт Гедель доказал, что аксиому выбора нельзя опровергнуть, пользуясь остальными аксиомами теории множеств, а в 1960-е годы американский математик Пол Дж.Коэн доказал, что ее нельзя и вывести из остальных аксиом. (Конечно, понимание этих утверждений требует подробного изложения теории множеств как аксиоматической теории.)

30. Такой же тонкий момент (хотя и менее очевидный) есть и в доказательстве утверждения (в). Можете ли вы догадаться, где он? (Ответ: мы знаем, что множества A_iсчетны, то есть что существует взаимно однозначное соответствие между \bbNи A_i. Но нужно выбрать и фиксировать эти соответствия, прежде чем удастся построить соответствие между объединением всех A_iи \bbN.)

Еще несколько примеров счетных множеств:

  • Множество \bbQрациональных чисел счетно. В самом деле, рациональные числа представляются несократимыми дробями с целым числителем и знаменателем. Множество дробей с данным знаменателем счетно, поэтому \bbQпредставимо в виде объединения счетного числа счетных множеств. Забегая вперед (см. «лекцию 4» ), отметим, что множество \bbRвсех действительных чисел несчетно.
  • Множество \bbN^k, элементами которого являются наборы из kнатуральных чисел, счетно. Это легко доказать индукцией по k. При k\hm=2множество \bbN^2\hm=\bbN\hm\times\bbNпар натуральных чисел разбивается на счетное число счетных множеств \<0\>\hm\times\bbN, \\hm\times\bbN, \dots» /> (элементами <img decoding=-го множества будут пары, первый член которых равен i). Поэтому \bbN^2счетно. Аналогичным образом множество \bbN^3троек натуральных чисел разбивается на счетное число множеств \<i\>\hm\times\bbN\hm\times\bbN» />. Каждое из них состоит из троек, первый член которых фиксирован и потому равномощно множеству <img decoding=, которое счетно. Точно так же можно перейти от счетности множества \bbN^kк счетности множества \bbN^<k+1>» />.</li>
<li>Множество всех конечных последовательностей натуральных чисел счетно. В самом деле, множество всех последовательностей данной длины счетно (как мы только что видели), так что интересующее нас множество разбивается на счетное число счетных множеств.</li>
<li>В предыдущем примере не обязательно говорить о натуральных числах — можно взять любое счетное (или конечное) множество. Например, множество всех текстов, использующих русский алфавит (такой текст можно считать конечной последовательностью букв, пробелов, знаков препинания и т.п.), счетно; то же самое можно сказать о множестве (всех мыслимых) компьютерных программ и т.д.</li>
<li>Число называют <i>алгебраическим</i>, если оно является корнем ненулевого многочлена с целыми коэффициентами. Множество алгебраических чисел счетно, так как многочленов счетное число (многочлен задается конечной последовательностью целых чисел — его коэффициентов), а каждый многочлен имеет конечное число корней (не более <img decoding=для многочленов степени n).
  • Множество периодических дробей счетно. В самом деле, такая дробь может быть записана как конечная последовательность символов из конечного множества (запятая, цифры, скобки); например, дробь 0<,>16666″ /> можно записать как <img decoding=Как вернуть ленту в автокаде
  • Как найти точку касания двух окружностей
  • Как установить python docx
  • Что такое сложный запрос mysql

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *