Что является корнем нелинейного уравнения f x 0
Перейти к содержимому

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

  • автор:

Численные методы решения нелинейных уравнений

где f(x) — заданная алгебраическая или трансцендентная функция.

Решить уравнение — значит найти все его корни, то есть те значения x , которые обращают уравнение в тождество.
Если уравнение достаточно сложно, то задача точного определения корней является в некоторых случаях нерешаемой. Поэтому ставится задача найти такое приближенное значение корня xПP , которое отличается от точного значения корня x* на величину, по модулю не превышающую указанной точности (малой положительной величины) ε , то есть

Величину ε также называют допустимой ошибкой , которую можно задать по своему усмотрению.

Этапы приближенного решения нелинейных уравнений

Приближенное решение уравнения состоит из двух этапов:

  • Отделение корней, то есть нахождение интервалов из области определения функции f(x) , в каждом из которых содержится только один корень уравнения f(x)=0 .
  • Уточнение корней до заданной точности.

Отделение корней

Отделение корней можно проводить графически и аналитически.
Для того чтобы графически отделить корни уравнения, необходимо построить график функции f(x) . Абсциссы точек его пересечения с осью Ox являются действительными корнями уравнения.

Для примера рассмотрим задачу решения уравнения
Уравнение
где угол x задан в градусах. Указанное уравнение можно переписать в виде
f(x)=0
Для графического отсечения корней достаточно построить график функции
График функции
Из рисунка видно, что корень уравнения лежит в промежутке x∈(6;8) .

Аналитическое отделение корней

f(a)f(b)<0

Аналитическое отделение корней основано на следующих теоремах.
Теорема 1 . Если непрерывная функция f(x) принимает на концах отрезка [a; b] значения разных знаков, т.е.

то на этом отрезке содержится по крайней мере один корень уравнения.
Теорема 2 . Если непрерывная на отрезке [a; b] функция f(x) принимает на концах отрезка значения разных знаков, а производная f'(x) сохраняет знак внутри указанного отрезка, то внутри отрезка существует единственный корень уравнения f(x) = 0 .

Уточнение корней

Для уточнения корней может использоваться один из следующих методов:

  • Метод последовательных приближений (метод итераций)
  • Метод Ньютона (метод касательных)
  • Метод секущих (метод хорд)
  • Метод половинного деления (метод дихотомии)

Метод последовательных приближений (метод итераций)

x=f(x)

Метод итерации — численный метод решения математических задач, используемый для приближённого решения алгебраических уравнений и систем. Суть метода заключается в нахождении по приближённому значению величины следующего приближения (являющегося более точным). Метод позволяет получить решение с заданной точностью в виде предела последовательности итераций. Характер сходимости и сам факт сходимости метода зависит от выбора начального приближения решения.
Функциональное уравнение может быть записано в виде

Функцию f(x) называют сжимающим отображением .

xn=f(xn-1)

Последовательность чисел x0, x1 ,…, xn называется итерационной , если для любого номера n>0 элемент xn выражается через элемент xn-1 по рекуррентной формуле

а в качестве x0 взято любое число из области задания функции f(x) .

Реализация на C++ для рассмотренного выше примера
Уравнение
Уравнение может быть записано в форме
x=1/sinx

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

Результат метода последовательных приближений

Результат выполнения

Метод Ньютона (метод касательных)

Если известно начальное приближение x0 корня уравнения f(x)=0, то последовательные приближения находят по формуле
метод Ньютона
Графическая интерпретация метода касательных имеет вид
Метод касательных
Реализация на C++
Для заданного уравнения
метод Ньютона
производная будет иметь вид f

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double find( double x, double eps)
double f, df; int iter = 0;
cout do f = sin(M_PI*x / 180) — 1 / x;
df = M_PI / 180 * cos(M_PI*x / 180) + 1 / (x*x);
x = x — f / df;
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return x;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>

Метод Ньютона

Результат выполнения

Метод секущих (метод хорд)

Если x0 , x1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие
f(a)f(b)
то последующие приближения находят по формуле
Метод хорд
Методом хорд называют также метод, при котором один из концов отрезка закреплен, т.е. вычисление приближения корня уравнения f(x) = 0 производят по формулам:
Метод секущих
Геометрическая интерпретация метода хорд:
Метод хорд
Реализация на C++
В отличие от двух рассмотренных выше методов, метод хорд предполагает наличие двух начальных приближений, представляющих собой концы отрезка, внутри которого располагается искомый корень.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23

#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double find( double x0, double x1, double eps)
double rez = x1, f0, f;
int iter = 0;
cout do f = sin(M_PI*rez / 180) — 1 / rez;
f0 = sin(M_PI*x0 / 180) — 1 / x0;
rez = rez — f / (f — f0)*(rez — x0);
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return rez;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>

Реализация метода хорд

Результат выполнения

Метод половинного деления (метод дихотомии)

Если x0 , x1 — приближенные значения корня уравнения f(x) = 0 и выполняется условие
Метод половинного деления
то последующие приближения находятся по формуле
Метод дихотомии
и вычисляется f(xi) . Если f(xi)=0 , то корень найден. В противном случае из отрезков выбирается тот, на концах которого f(x) принимает значения разных знаков, и проделывается аналогичная операция. Процесс продолжается до получения требуемой точности.

Метод дихотомии

Геометрическая интерпретация метода дихотомии

Реализация на C++

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28

#define _USE_MATH_DEFINES
#include
#include
using namespace std;
double func( double x)
return (sin(M_PI*x / 180) — 1 / x);
>
double find( double x0, double x1, double eps)
double left = x0, right = x1, x, fl, fr, f;
int iter = 0;
cout do x = (left + right) / 2;
f = func(x);
if (f > 0) right = x;
else left = x;
iter++;
> while (fabs(f) > eps && iter <20000);
cout return x;
>
int main()
cout cin.get(); return 0;
>

Метод дихотомии

Результат выполнения

Для численного поиска решения также можно использовать генетические алгоритмы.

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Постановка задачи

Дано нелинейное алгебраическое уравнение

f(x)=0 (1)

Нелинейность уравнения означает, что график функции не есть прямая линия, т.е. в f(x) входит x в некоторой степени или под знаком функции.

Решить уравнение – это найти такое x* ∈ R: f(x*)=0. Значение x* называют корнем уравнения. Нелинейное уравнение может иметь несколько корней. Геометрическая интерпретация корней уравнения представлена на рис. 1. Корнями уравнения (1) являются точки x1*, x2*, x3*, в которых функция f(x) пересекает ось x.

Методы решения нелинейного уравнения (1) можно разделить на точные (аналитические) и приближенные (итерационные). В точных методах корень представляется некоторой алгебраической формулой. Например, решение квадратных уравнений, некоторых тригонометрических уравнений и т. д.

В приближенных методах процесс нахождения решения, вообще говоря, бесконечен. Решение получается в виде бесконечной последовательности xn>, такой, что . По определению предела, для любого (сколь угодно малого) ε, найдется такое N, что при n>N, |xn x*| ε. Члены этой последовательности xn называются последовательными приближениями к решению, или итерациями. Наперёд заданное число ε называют точностью метода, а N это количество итераций, которое необходимо выполнить, чтобы получить решение с точностью ε.

Существует различные методы нахождения приближенного решения, т.е. способы построения последовательности итераций xn>, однако все они имеют общие этапы, изображенные на рисунке.

Прежде чем использовать приближенный метод, уравнение надо исследовать его на наличие корней и уточнить, где эти корни находятся, т.е. найти интервалы изоляции корней. Интервалом изоляции корня называется отрезок, на котором корень уравнения существует и единственен.

Достаточное условие единственности корня на отрезке [a,b]:

Если корней несколько, то для каждого нужно найти интервал изоляции.

Существуют различные способы исследования функции: аналитический, табличный, графический.

Аналитический способ состоит в нахождении экстремумов функции f(x), исследование ее поведения при и нахождение участков возрастания и убывания функции.

Графический способ – это построение графика функции f(x) и определение числа корней по количеству пересечений графика с осью x.

Табличный способ это построение таблицы, состоящей из столбца аргумента x и столбца значений функции f(x). О наличии корней свидетельствуют перемены знака функции. Чтобы не произошла потеря корней, шаг изменения аргумента должен быть достаточно мелким, а интервал изменения достаточно широким.

Решить уравнение x 3 ‑ 6x 2 +3x+11=0, т.е. f(x)= x 3 ‑ 6x 2 +3x+11.

Найдем производную f / (x)=3x 2 -12x+3.

Найдем нули производной f / (x)=3x 2 -12x+3=0; D=144-4*3*3=108;

Так как f / ( )>0, то f / (x)>0 при , f / (x) и f / (x)>0 при . Кроме того, f( )= )= >0. Следовательно, на интервале возрастает от до f(x1)= 3x1 2 -12x1+3=11.39; на интервале — убывает до f(x2)= 3x2 2 -12x2+3=-9.39 и на интервале возрастает до , т.е. уравнение имеет три корня.

Найдем интервалы изоляции для каждого из корней.

Рассмотрим для первого корня отрезок [-2, -1]:

f(-2)= -270, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Рассмотрим для второго корня отрезок [1, 3]:

Рассмотрим для третьего корня отрезок [4, 5]:

f(4)= -90, f / (x)>0 при т.е. этот отрезок является интервалом изоляции корня.

Табличный способ:

Что является корнем нелинейного уравнения f x 0

Уравнение типа F(x)=0 или x=f(x) называется нелинейным. Решить уравнение это значит найти такое x, при котором уравнение превращается в тождество. В общем случае уравнение может иметь 0; 1; 2;. ∞ корней. Рассмотренные ниже численные методы решения нелинейных уравнений позволяют находить один корень на заданном интервале [a,b]. При этом на интервале должен существовать только один корень. Рассмотрим несколько методов решения нелинейных уравнений.

    Метод перебора. При решении нелинейного уравнения методом перебора задаются начальное значение аргумента x=a и шаг h, который при этом определяет и точность нахождения корней нелинейного уравнения. Пока выполняется условие F(x)*F(x+h)>0 аргумент x увеличиваем на шаг h (x=x+h). Если произведение F(x)*F(x+h) становится отрицательным, то на интервале [x,x+h] существует решение уравнения. Структограмма метода приведена на рисунке.

Пока F(x)∙F(x+h)>0 Рис. Структограмма для метода перебора
x=x+h
  1. Метод половинного деления. При решении нелинейного уравнения методом половинного деления задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и желаемая точность ε. Затем определяется середина интервала с=(а+b)/2 и проверяется условие F(a)∙F(c)ε. Структограмма решения нелинейных уравнений методом половинного деления приведена на рисунке.
Пока |b-a|>ε
c=(a+b)/2 F(a)∙F(c)
да нет
b=c a=c

Рис. Структограмма для метода половинного деления
Метод хорд. При решении нелинейного уравнения методом хорд задаются интервал [a,b], на котором существует только одно решение, и точность ε. Затем через две точки с координатами (a,F(a)) и (b,F(b)) проводим отрезок прямой линии (хорду) и определяем точку пересечения этой линии с осью абсцисс (точка c). Если при этом F(a)∙F(c)c переносится левая граница интервала (а=с). Поиск решения прекращается при достижении заданной точности |F(c)| < ε. Для определения точки пересечения хорды с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (попытайтесь получить формулу самостоятельно).Структограмма метода хорд показана на рисунке.

Пока |F(c)|>ε
F(a)∙F(c)
да нет
b=c a=c

Рис. Структограмма для метода хорд
Метод касательных. При решении нелинейного уравнения методом касательных задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Затем в точке(x0,F(x0)) проводим касательную к графику F(x) и определяем точку пересечения касательной с осью абсцисс x1. В точке (x1,F(x1)) снова строим касательную, находим следующее приближение искомого решения x2 и т.д. Указанную процедуру повторяем пока |F(xi)| > ε. Для определения точки пересечения (i+1) касательной с осью абсцисс воспользуемся следующей формулой (получите формулу самостоятельно). Условие сходимости метода касательных F(x0)∙F»(x0)>0. Структограмма решения нелинейных уравнений методом касательных показана на рис.

Пока |F(x)|> ε Рис. Структограмма для метода касательных

  • Метод хорд-касательных. Если в методе касательных производную функции F'(xi) заменить отношением конечных приращений, то получаем расчетную формулу для метода хорд-касательных . Порядок выполнения вычислений в данном методе аналогичен рассмотренному ранее.
  • Метод итераций. При решении нелинейного уравнения методом итераций воспользуемся записью уравнения в виде x=f(x). Задаются начальное значение аргумента x0 и точность ε. Первое приближение решения x1 находим из выражения x1=f(x0), второе — x2=f(x1) и т.д. В общем случае i+1 приближение найдем по формуле xi+1 =f(xi). Указанную процедуру повторяем пока |f(xi)|>ε. Условие сходимости метода итераций |f'(x)|
    Пока |f(xi)|> ε Рис. Структограмма для метода итераций
    xi+1 =f(xi)

    Контрольное задание. Лабораторная работа 4.

    Решение нелинейных уравнений.

    Задание. Решить нелинейное уравнениеуказанными в табл. методами, предварительно определив интервал [a,b], на котором существует решение уравнения. Сделать проверку решения.

    Варианты уравнений и методов их решения приведены в таблице.

    Варианты уравнений и методов их решения

    Нахождение корней нелинейного уравнения

    Корнями уравнения (1) называются такие значения х, которые при подстановке обращают его в тождество. Только для простейших уравнений удается найти решение в виде формул, т.е. аналитическом виде. Чаще приходится решать уравнения приближенными методами, наибольшее распространение среди которых, в связи с появлением компьютеров, получили численные методы.

    Алгоритм нахождения корней приближенными методами можно разбить на два этапа. На первом изучается расположение корней и проводится их разделение. Находится область [a,b], в которой существует корень уравнения или начальное приближение к корню x0. Простейший способ решения этой задачи является исследование графика функции f(x) . В общем же случае для её решения необходимо привлекать все средства математического анализа.

    Существование на найденном отрезке [a,b], по крайней мере, одного корня уравнения (1) следует из условия Больцано:

    При этом подразумевается, что функция f(x) непрерывна на данном отрезке. Однако данное условие не отвечает на вопрос о количестве корней уравнения на заданном отрезке [a,b]. Если же требование непрерывности функции дополнить ещё требованием её монотонности, а это следует из знакопостоянства первой производной , то можно утверждать о существовании единственного корня на заданном отрезке.

    При локализации корней важно так же знание основных свойств данного типа уравнения. К примеру, напомним, некоторые свойства алгебраических уравнений:

    где вещественные коэффициенты.

    • а) Уравнение степени n имеет n корней, среди которых могут быть как вещественные, так и комплексные. Комплексные корни образуют комплексно-сопряженные пары и, следовательно, уравнение имеет четное число таких корней. При нечетном значении n имеется, по меньшей мере, один вещественный корень.
    • б) Число положительных вещественных корней меньше или равно числа переменных знаков в последовательности коэффициентов . Замена х на -х в уравнении (3) позволяет таким же способом оценить число отрицательных корней. итерация Ньютон дихотомия нелинейный

    На втором этапе решения уравнения (1), используя полученное начальное приближение, строится итерационный процесс, позволяющий уточнять значение корня с некоторой, наперед заданной точностью . Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения. Каждый такой шаг называется итерацией. В результате процесса итерации находится последовательность приближенных значений корней уравнения . Если эта последовательность с ростом n приближается к истинному значению корня x , то итерационный процесс сходится. Говорят, что итерационный процесс сходится, по меньшей мере, с порядком m, если выполнено условие:

    где С>0 некоторая константа. Если m=1 , то говорят о сходимости первого порядка; m=2 — о квадратичной, m=3 — о кубической сходимостях.

    Итерационные циклы заканчиваются, если при заданной допустимой погрешности выполняются критерии по абсолютным или относительным отклонениям:

    или малости невязки:

    Эта работа посвящена изучению алгоритма решения нелинейных уравнений с помощью метода Ньютона.

  • Добавить комментарий

    Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *